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Edstrayer

版主 (著名写手)

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一个无穷级数的题目: 领取红包 (小木虫手机app专属红包)

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设 $a_0<a_1<a_2<\cdots<a_n<a_{n+1}<\cdots$ 是正整数的无穷序列，试证：无穷级数

$\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{[a_n,a_{n+1}]}$

收敛，这里 $[a_n,a_{n+1}]$ 表示正整数 $a_n,a_{n+1}$ 的最小公倍数。

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1楼 2015-10-11 05:02:40

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nono2009

超级版主 (文学泰斗)

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小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖

如果是1,2,3,4，...，很容易证明是收敛的。而这已经是所有可能级数中最大的和值了

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17楼2015-10-11 05:15:31

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Edstrayer

版主 (著名写手)

https://muchong.com/bbs/viewthread.php?tid=9129342

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5楼2015-10-11 05:04:22

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zhb8151

新虫 (小有名气)

应助: 0 (幼儿园)
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★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖

只是来领金币是不是不太好

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22楼2015-10-11 06:09:43

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0404600213

金虫 (正式写手)

应助: 56 (初中生)
金币: 725.5
帖子: 992
在线: 295.6小时
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★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖

某楼的思路是对的，我补充一下

因为最小公倍数等于两个数的乘积除以最大公约数
又因为 $\frac{1}{a_{n}}-\frac{1}{a_{n+1}}=\frac{a_{n+1}-a_{n}}{a_{n}*a_{n+1}}$
再由于 $(a_{n},a_{n+1})|(a_{n+1}-a_{n})$
所以得出1/[a(n),a(n+1)]<=1/a(n)-1/a(n+1)
所以原级数[img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?\sum\frac{1}{[a_{n},a_{n+1}]}\leq\sum(\frac{1}{a_{n}}-\frac{1}{a_{n+1}})=\frac{1}{a_{0}}[/img]

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26楼2015-10-11 10:40:21

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raininjuly

木虫 (小有名气)

应助: 0 (幼儿园)
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在线: 12.5小时
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★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖

总体收敛吧？某些区间是否会波动下

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18楼2015-10-11 05:38:11

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chmzhuq

金虫 (著名写手)

应助: 16 (小学生)
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男男女女你

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19楼2015-10-11 05:41:43

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hank612

至尊木虫 (著名写手)

数学EPI: 14
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★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖

因为（a,b)<=a, 所以(a[n],a[n+1])<=a[n+1]-a[n]

这等价于 1/[a[n],a[n+1]] <= 1/a[n] - 1/a[n+1]

证毕

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20楼2015-10-11 05:50:32

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shabaolin

铜虫 (著名写手)

应助: 4 (幼儿园)
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★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖

我觉得应从最小公倍数的定义下手，分解为anan+1的k倍

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21楼2015-10-11 06:03:39

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Jakelee0405

新虫 (小有名气)

应助: 0 (幼儿园)
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在线: 23.1小时
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Fhjjkkk

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23楼2015-10-11 06:33:54

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patiant

铜虫 (著名写手)

应助: 1 (幼儿园)
金币: 9009.5
帖子: 1534
在线: 215.2小时
虫号: 2049198

这么快？！

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24楼2015-10-11 07:13:08

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hylpy

专家顾问 (知名作家)

★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖

我想撬助追加些金币，追加无门，晕啊

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28楼2015-10-11 13:15:52

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goaheadsan

金虫 (正式写手)

应助: 0 (幼儿园)
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在线: 181.4小时
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哈哈

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29楼2015-10-11 15:05:38

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匿名

应助: (幼儿园)
在线:
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小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖

本帖仅楼主可见

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30楼2015-10-11 22:54:25

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maojun1998

银虫 (正式写手)

数学EPI: 1
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帖子: 664
在线: 169.3小时
虫号: 3338525

应该不是太难

[ 发自手机版 https://muchong.com/3g ]

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31楼2015-10-12 00:00:19

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Edstrayer

版主 (著名写手)

引用回帖:

31楼: Originally posted by maojun1998 at 2015-10-12 00:00:19
应该不是太难

很简单的一个小题目啦

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32楼2015-10-12 03:01:48

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Edstrayer

版主 (著名写手)

引用回帖:

26楼: Originally posted by 0404600213 at 2015-10-11 10:40:21
某楼的思路是对的，我补充一下

因为最小公倍数等于两个数的乘积除以最大公约数
又因为https://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{1}{a_{n}}-\frac{1}{a_{n+1}}=\frac{a_{n+1}-a_{n}}{a_{n}* ...

good ideas

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33楼2015-10-13 01:28:20

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简单回复

wlx1213wlx2楼

2015-10-11 05:02 回复

Edstrayer(金币+1): 谢谢参与

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谁知道呢？3楼

2015-10-11 05:02 回复

Edstrayer(金币+1): 谢谢参与

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zxc453214楼

2015-10-11 05:04 回复

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friend0120166楼

2015-10-11 05:04 回复

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44407楼

2015-10-11 05:05 回复

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lidajian5218楼

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guozhongfo9楼

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hejun197810楼

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fellow12613楼

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nono200914楼

2015-10-11 05:09 回复

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这一年199215楼

2015-10-11 05:09 回复

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yuzhiming16楼

2015-10-11 05:09 回复

Edstrayer(金币+1): 谢谢参与

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showtimexh25楼

2015-10-11 07:38 回复

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liusmlw27楼

2015-10-11 12:48 回复

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