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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 物理 » 基础物理 » 请解释量子力学中有关希尔伯特空间的问题
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面包蓝调

铁虫 (小有名气)

[求助] 请解释量子力学中有关希尔伯特空间的问题 已有3人参与

公理。可观测量算符的本征函数是完备的：（在希尔伯特空间中）任何函数都可以用他们的线性组合表示。
疑问如下
1。量子力学中的希尔伯特空间是不是要对特定的情况来说？比如谐振子的态组成了一个希尔伯特空间
而无限深势井的态构成另一个希尔伯特空间，两个空间不同。
2。上述公理中本征函数完备是否是对特定的情况说的，即无限深势井的本征函数对于无限深势井的
希尔伯特空间是完备的，对其他的希尔伯特空间则不一定。
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1楼 2015-10-04 11:00:14
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坠落升空

金虫 (小有名气)
Hilbert空间没变，变的是空间选取的基底

发自小木虫Android客户端
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潜龙勿用 白刃凝霜
2楼2015-10-04 14:34:16
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annkk

木虫 (正式写手)
2 中的提法是错误的。所谓完备基是对所有希尔伯特空间的。

例如，{1， sinx，cosx，sin2x，cos2x...}构成完备基，所有函数都可以用这个完备基做展开。

个人理解，请谨慎参考。
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性格决定成败！
3楼2015-10-04 17:30:13
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huangstate

金虫 (初入文坛)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
无限深势阱的空间应该是子空间，它的坐标只能取一定范围。
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4楼2015-10-04 21:36:48
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annkk

木虫 (正式写手)
引用回帖:
4楼: Originally posted by huangstate at 2015-10-04 21:36:48
无限深势阱的空间应该是子空间，它的坐标只能取一定范围。

即使是子空间，其对应的波函数也是完备的。
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性格决定成败！
5楼2015-10-05 18:27:34
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赵端阳

新虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

★ ★
感谢参与，应助指数 +1
面包蓝调: 金币+2, ★★★很有帮助 2015-10-10 12:48:17
1只要是微观体系的状态，那么都在希尔伯特空间中，这是量子力学基本假设中，关于状态的假设，没有为什么，是公理。
2厄米算符的本征态构成了一个完备的基矢，这也是基本假设，实际上是算符假设的补充假设，在离散谱情况下，可以证明厄米算符的本征态构成了一个完备的基矢，但是对于连续谱，证明至今有困难，所以把人们把完备性作为一个基本假设给出了。
你说的无限深势井的本征函数对于无限深势井当然是完备的，实际上，无限深势阱的能量本征函数是分段函数，势井内是三角函数系，井外为零，但仍然是完备的，只要是厄米算符的全部本征函数，那么就一定构成完备系。
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努力奋斗，劳逸结合，不负青春
6楼2015-10-05 19:09:41
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huangstate

金虫 (初入文坛)
引用回帖:
5楼: Originally posted by annkk at 2015-10-05 18:27:34
即使是子空间，其对应的波函数也是完备的。...

它的完备应该是对无限深势阱体系成立的，但是套用其他体系的波函数，不一定能用这个展开，最简单的情况是粒子放在阱外。因为有无穷大的势垒，不可能穿透到阱内。
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7楼2015-10-05 22:55:55
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annkk

木虫 (正式写手)
引用回帖:
7楼: Originally posted by huangstate at 2015-10-05 22:55:55
它的完备应该是对无限深势阱体系成立的，但是套用其他体系的波函数，不一定能用这个展开，最简单的情况是粒子放在阱外。因为有无穷大的势垒，不可能穿透到阱内。...

一定可以展开。
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性格决定成败！
8楼2015-10-06 17:22:27
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1107657127

铜虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

★ ★ ★
面包蓝调: 金币+3, ★有帮助 2015-10-10 12:47:38
我觉得楼主没有明白完备系的意思，所谓完备系是指能描述系统中任意矢量ψ 的基失的集合。注意是指的“系统中”，若是换做别的系统则基失就不一样了，同样也会有另一组完备的基失的集合来描述这也系统。若是两个系统的话基失是不能相比较的。
如果想让两个系统共用一套基失的话可以将两个系统构成一个系统即Φ=ψ 1+ψ2（两个子系统不相干）或Φ=ψ 1ψ2（两子系统纠缠）。可以写Φ的基失，并用该基失描述ψ 1和ψ2，但是描述ψ 1的基失与描述ψ2的基失并不一定是完备的。------参见爱因斯坦杨谬。
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9楼2015-10-08 09:32:52
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