版块导航: 正在加载中...

登录注册

应《网络安全法》要求，自2017年10月1日起，未进行实名认证将不得使用互联网跟帖服务。为保障您的帐号能够正常使用，请尽快对帐号进行手机号验证，感谢您的理解与支持！

24小时热门版块排行榜

返回列表

pengyg1217

银虫 (小有名气)

应助: 0 (幼儿园)
金币: 252.1
散金: 33
帖子: 60
在线: 9.2小时
虫号: 3473363
注册: 2014-10-14
性别: GG
专业: 函数论

[求助] 完备性证明

对于C[a，b]，定义其上距离为d(x，y)=|x(t)-y(t)|的积分(下限和上限分別为a和b),证明(C[a,b],d)不完备。

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]

回复此楼

» 猜你喜欢

1楼 2015-09-18 23:37:55

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界

数学EPI: 7
应助: 157 (高中生)
贵宾: 0.927
金币: 9349.6
散金: 4503
红花: 77
沙发: 2
帖子: 2745
在线: 1465.6小时
虫号: 3086598
注册: 2014-03-25
管辖: 数学

考虑空间C[0,1]，并在其上定义距离d如下：

$d(x,y)=\int_0^1\mid x(t)-y(t)\mid dt(\forall x(t),y(t)\in C[0,1])$

则(C[0,1],d)是距离空间，但它是不完备的。
事实上，可以构造这个空间上的Cauchy基本列，它在距离d下不收敛到空间里的任何一个元素。
这只要取序列 $x_n(t)=t^n(t\in[0,1],n=1,2,\cdots)$
则有：当 $m\geqslant n\to+\infty$ 时，

$d(x_n,x_m)=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{m+1}\to 0$

从而是Cauchy基本列， $x_n(t)$ 在距离d下收敛到元素x(t)，这里

$x(t)=\begin{cases}0, & 0\leqslant t<1\\1, & t=1\end{cases}$

但是x(t)在t=1处不连续，故 $x(t)\not\in C[0,1]$ ，所以(C[0,1],d)是不完备的。

赞一下(3人)

回复此楼

青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

2楼2015-09-19 04:21:26

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

mygt_hit

专家顾问 (职业作家)

专家经验: +362
数学EPI: 3
应助: 438 (硕士)
贵宾: 0.019
金币: 19579.9
散金: 5130
红花: 135
沙发: 3
帖子: 4939
在线: 990.5小时
虫号: 1489764
注册: 2011-11-13
性别: GG
专业: 结构工程
管辖: 土木建筑

引用回帖:

2楼: Originally posted by Edstrayer at 2015-09-19 04:21:26
考虑空间C，并在其上定义距离d如下：
d(x,y)=\int_0^1\mid x(t)-y(t)\mid dt(\forall x(t),y(t)\in C)
则(C,d)是距离空间，但它是不完备的。
事实上，可以构造这个空间上的Cauchy基本列，它在距离d下不收敛到空间 ...

经典例子
好像还可以引出叶果洛夫定理什么的

赞一下(1人)

回复此楼

知其然，知其所以然。

3楼2015-09-19 09:30:58

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

相关版块跳转我要订阅楼主 pengyg1217 的主题更新

返回列表