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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 完备性证明
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pengyg1217

银虫 (小有名气)

[求助] 完备性证明

对于C[a，b]，定义其上距离为d(x，y)=|x(t)-y(t)|的积分(下限和上限分別为a和b),证明(C[a,b],d)不完备。

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
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1楼 2015-09-18 23:37:55
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mygt_hit

专家顾问 (职业作家)
引用回帖:
2楼: Originally posted by Edstrayer at 2015-09-19 04:21:26
考虑空间C，并在其上定义距离d如下：
d(x,y)=\int_0^1\mid x(t)-y(t)\mid dt(\forall x(t),y(t)\in C)
则(C,d)是距离空间，但它是不完备的。
事实上，可以构造这个空间上的Cauchy基本列，它在距离d下不收敛到空间 ...

经典例子  
好像还可以引出叶果洛夫定理什么的
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知其然，知其所以然。
3楼2015-09-19 09:30:58
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界
考虑空间C[0,1]，并在其上定义距离d如下：


则(C[0,1],d)是距离空间，但它是不完备的。
事实上，可以构造这个空间上的Cauchy基本列，它在距离d下不收敛到空间里的任何一个元素。
这只要取序列
则有：当时，


从而是Cauchy基本列，在距离d下收敛到元素x(t)，这里


但是x(t)在t=1处不连续，故，所以(C[0,1],d)是不完备的。
赞一下(3人) 回复此楼
青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
2楼2015-09-19 04:21:26
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