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银虫 (小有名气)

[求助] 完备性证明

对于C[a，b]，定义其上距离为d(x，y)=|x(t)-y(t)|的积分(下限和上限分別为a和b),证明(C[a,b],d)不完备。

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]

1楼 2015-09-18 23:37:55

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版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界

考虑空间C[0,1]，并在其上定义距离d如下：

$d(x,y)=\int_0^1\mid x(t)-y(t)\mid dt(\forall x(t),y(t)\in C[0,1])$

则(C[0,1],d)是距离空间，但它是不完备的。
事实上，可以构造这个空间上的Cauchy基本列，它在距离d下不收敛到空间里的任何一个元素。
这只要取序列 $x_n(t)=t^n(t\in[0,1],n=1,2,\cdots)$
则有：当 $m\geqslant n\to+\infty$ 时，

$d(x_n,x_m)=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{m+1}\to 0$

从而是Cauchy基本列， $x_n(t)$ 在距离d下收敛到元素x(t)，这里

$x(t)=\begin{cases}0, & 0\leqslant t<1\\1, & t=1\end{cases}$

但是x(t)在t=1处不连续，故 $x(t)\not\in C[0,1]$ ，所以(C[0,1],d)是不完备的。

青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

2楼2015-09-19 04:21:26

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