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simonrac

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[交流] 广义相对论中的时空观

我一直不懂，为什么一说到相对论就会有一大堆的哲学、神学甚至是科幻小说之类的东西跑出来！由于我对宇宙学了解不多，这里仅谈谈自己对广义相对论的理解！

1. 广义相对论的思维模式

广义相对论(GR)的思维模式是使引力造成的影响几何化！具体的说就是如果你自由落体，假设你足够小(local)且不考虑tidal force，那么你在自由落体过程中是感受不到引力作用的，但是在space-time coordinate上你的运动轨迹是一条抛物线，也就是说你沿这条轨迹运动时可以不考虑引力的作用，这就是Gravity几何化的雏形！按照这个思路，爱因斯坦得到了他的场论方程$R_{\mu \nu} - 1/2 R g_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = 8 \pi G T_{\mu \nu}$。这个方程是GR的核心，它将物理的量mass、energy、dynamics全都转换成了metric、curvature(也是由metric计算得到)、geodesic这些微分几何上的纯几何计算！所以我们经常所说的什么质量使时空弯曲仅仅指的就是质量的存在会有引力效应，不同的引力影响下，几何化得到的metric不一样，仅此而已！

2.光的偏转与时空弯曲

在广义相对论里，光是沿“直线”传播的吗？是的！那么光在经过天体时会偏转吗？会的！但这并不矛盾！之前也提到过了，GR将引力的作用全部几何化，而物体在引力的影响下的运动方程就几何化转变成了geodesic equation。光也不例外，光沿着它所认为的最短“直线”（也就是geodesic）走，但是当我们在远处观察时，由于我们所在时空是flat的，光就发生了偏转。这就好比我们在宇宙飞船上观察地球赤道上人的运动一样，赤道上的人以为他们走的是直线，但我们观察到的是弧线。

另外在四大基本相互作用中，光除了有引力效应以为，还能参与电磁相互作用；光在所谓的介质中传播速度改变是由于电磁相互作用，电磁相互作用是由量子场论解释的，跟广义相对论没有什么关系，也没有什么使时空弯曲一说。而且值得注意的是Gravitational constant值非常小，只有当质量很大时，比如天体，才会对光造成较大的引力影响！日常生活尺度是不会考虑这个的！

最后再补充一点，根据Einstein field equation，任何进入方程右边stress-energy tensor的energy理论上都能改变metric，使时空弯曲！那么在电场中的电荷能使时空弯曲吗？这个问题答案比较subtle，目前是会的！具体可以维基 Reissner–Nordström metric 。

3. 黑洞

黑洞是Einstein field equation的一个解，也就是Schwarzschild solution(https://en.wikipedia.org/wiki/Schwarzschild_metric)。在黑洞的时空可以由Schwarzschild metric 描述。这个解在普通坐标系下存在两个奇点，一个对应于event horizon，这是个假的奇点，可以通过坐标系转变消除；另一个是真正的奇点，也就是所谓的黑洞中心，curvature无穷大！

黑洞的存在影响了周围的时空metric，也就改变了光的geodesic，宏观上看就是光向黑洞中心偏转；至于为什么光进了event horizon就出不来，是因为逃离event horizon所需的escape velocity是$v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$，这个速度比光速还大，所以光无法逃逸！

黑洞中心的那一点比较subtle，我自己也不大理解！还有一些跟量子力学的悖论，比如信息守恒，不确定性原理等！至于虫洞，很多人会说虫洞的存在说明物体的运动速度会超过光速，那么相对论就不对！这是不对的，首先虫洞本身就是GR场论方程的一个解；其次，虫洞所谓的超光速是指我们认为的直线在高维时空中看起来是曲线。还是以在赤道运动为例子，2维上的最短距离在我们3维看来不是最短的，很明显球面上两点的最短距离是直接通过球内的直线，而不是球面上人所认为的赤道弧线，这也就是说虫洞所谓的超光速仅仅只是距离缩短而已！

参考书： Robert M. Wald General Relativity

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1楼2015-09-13 16:57:07

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月下的淡然

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simonrac: 回帖置顶 2015-09-14 12:23:55

讨论一下：
广相思维模式：
爱因斯坦的想法和牛顿在某种程度上其实相反：牛顿认为自由下落的苹果受到了重力而加速下落，坐在苹果树下的自己由于受力平衡（不受力），是最自由的；而爱因斯坦认为自由下落的苹果走的是时空中的一条测地线(geodesic)，它是不受力最自由的，而苹果树下的牛顿时时刻刻克服着时空的弯曲。测地线方程的低速弱场近似就是牛顿第二定律。
光线偏转和时空弯曲：
由于在爱因斯坦的眼中引力不是力，只是时空弯曲的表现，也就注定了广相需要用(整体)微分几何来描述。时空是一个4维单连通流形M(manifold)配上一个洛伦兹号差的度规g_ab(metric)。时空的所有本质属性都由度规来决定，并且不依赖于参考系、坐标系的选择(不同的坐标系相当于量子力学中不同的表象，只是基底的选择和分量的不同而已，并不改变实质)。
对于物质，相对论中主要分为两种：质点和光子，并且认为自由（或者按照牛顿的观点是只受引力）的质点走类时测地线，光子走类光测地线，所以经典的广相中并没有“光线弯不弯、光速多大的问题”，测地线就是时空中最直的线。（退化到狭相闵氏时空中才有“光速最大，所有质点速度不可能达到光速，光走直线”这样的说法。）连续的物质可以用其能动张量来描述，能动张量不止可以描述实体粒子，而且可以囊括各种流体介质、电荷、电磁波、甚至暗物质等。
爱因斯坦场方程，就是“时空高速物质如何运动，物质告诉时空如何弯曲”，方程左边是有关时空的几何量（度规、里奇张量、曲率标量等），右边是有关物质的能动张量。场方程的弱场近似就是牛顿万有引力定律。
关于黑洞：
爱因斯坦场方程的第一个解，也是最简单、最重要的解：史瓦西解在广相论文发表后一年不到就得到了，它描述的是球对称不自转恒星外部的时空性质，本身没有视界、黑洞等等的问题。但这个解很简单就可以延拓到史瓦西半径内，所以就出现了个问题，如果恒星半径小于史瓦西半径怎么办？之后就预言了黑洞的存在。这项工作最后被Kruskal延拓到了最大范围，于是就出现了黑洞、白洞、平行宇宙等等术语。进了黑洞视界会怎样？其实和平常时空没有任何区别，即质点走类时测地线、光子走类光测地线。真正麻烦的其实是黑洞中心的奇点，这个问题由霍金和彭罗斯合作初步研究了一下并提出了奇点定理，并有宇宙监督假设等等成果。
至于虫洞，它本身是场方程的解，质点当然也走类光测地线（或者说不会超光速），这点没有疑问。有疑问的是虫洞本身是存在性，这点牵扯到了时空的整体因果结构，有很大一部分人（包括爱因斯坦、彭罗斯）认为时空应该是整体双曲的(globally hyperbolic)，因为这样的时空具有最好的因果性，这样的时空能够编时、不存在闭合类时线、具有柯西面；而另有一部分人认为时空可以有涨落。这些东西才是哲学、神学和科幻作家的所在地。我不反对把科学当做哲学、甚至神学来学习，因为科学本身就是研究世界的，每个科学家都应该有自己的世界观，而世界观的碰撞就可以产生哲学、神学。