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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 工科数学 » 关于一个组合恒等式的小题目
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
可以参考名著 A=B  的思路.
从哲学来说, 恒等式是一体两面, (对同一个物体用两种计数方式)

设有一个长度为n 的序列, 序列每个元素取值只限于ABC.
现在要求 在序列中, A,B,C 出现各至少一次. 问这种序列有多少个. (n大于等于3)

方法A: n个位置取k 个给A, (k大于等于1); 在剩下的 (n-k)个位置里取r 个给B (r大于等于1, 但要求 k+r<n以留出位置给C), 剩下的 n-k-r 位置自然就填C. 所以这种序列总数恰好就是等式左边.

方法B: 先随便填第一个位置, 有三种选择A或B或C. 比方说, 填A.
然后, 在剩下的(n-1)个位置, 每一个位置可以有三种选择, 但要求这(n-1)个位置必须含至少一个B 和至少一个C. (这样一来, 序列必然包含A,B,C至少各一个)

由 sinvay 的启发性贴子,
https://muchong.com/bbs/viewthread.php?tid=9296945&authorid=2530333

这样的(n-1)长度序列恰好有 个.

由于方法A,B是一体两面的, 所以Edstrayer 的恒等式成立.
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69楼2015-08-29 00:35:20
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Edstrayer

版主 (著名写手)
引用回帖:
69楼: Originally posted by hank612 at 2015-08-29 00:35:20
可以参考名著 A=B  的思路.
从哲学来说, 恒等式是一体两面, (对同一个物体用两种计数方式)

设有一个长度为n 的序列, 序列每个元素取值只限于ABC.
现在要求 在序列中, A,B,C 出现各至少一次. 问这种序列有多少个 ...

还可以直接组合级数求和，只用到二项式定理
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70楼2015-08-29 01:38:13
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shinetimes

新虫 (初入文坛)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
可以考虑用数学归纳法试试

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71楼2015-08-29 07:21:16
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miaojiabing51楼
2015-08-28 08:10   回复  
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readytogo52楼
2015-08-28 08:11   回复  
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readytogo53楼
2015-08-28 08:11   回复  
miaojiabing54楼
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wenzhitian55楼
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laom201356楼
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laom201357楼
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zhchzhsh207658楼
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祝福
zhchzhsh207659楼
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wenzhitian60楼
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yuxiaotiangy61楼
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yuxiaotiangy62楼
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w4151122263楼
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尕藏多吉64楼
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w4151122266楼
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夜de第二章68楼
2015-08-28 08:26   回复  
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