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Edstrayer

版主 (著名写手)

[交流] 关于一个组合恒等式的小题目

问题设 $n\geqslant 3$ ，试证下面的组合恒等式成立：

$\sum\limits_{\stackrel{k+r\leqslant n-1}{k\geqslant 1,r\geqslant 1}}C_n^k\cdot C_{n-k}^r=3\left(3^{n-1}-2^n+1\right)$

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1楼2015-08-28 05:08:25

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Edstrayer

版主 (著名写手)

引用回帖:

69楼: Originally posted by hank612 at 2015-08-29 00:35:20
可以参考名著 A=B 的思路.
从哲学来说, 恒等式是一体两面, (对同一个物体用两种计数方式)

设有一个长度为n 的序列, 序列每个元素取值只限于ABC.
现在要求在序列中, A,B,C 出现各至少一次. 问这种序列有多少个 ...

还可以直接组合级数求和，只用到二项式定理