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小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
可以参考名著 A=B 的思路.
从哲学来说, 恒等式是一体两面, (对同一个物体用两种计数方式)
设有一个长度为n 的序列, 序列每个元素取值只限于ABC.
现在要求 在序列中, A,B,C 出现各至少一次. 问这种序列有多少个. (n大于等于3)
方法A: n个位置取k 个给A, (k大于等于1); 在剩下的 (n-k)个位置里取r 个给B (r大于等于1, 但要求 k+r<n以留出位置给C), 剩下的 n-k-r 位置自然就填C. 所以这种序列总数恰好就是等式左边.
方法B: 先随便填第一个位置, 有三种选择A或B或C. 比方说, 填A.
然后, 在剩下的(n-1)个位置, 每一个位置可以有三种选择, 但要求这(n-1)个位置必须含至少一个B 和至少一个C. (这样一来, 序列必然包含A,B,C至少各一个)
由 sinvay 的启发性贴子,
https://muchong.com/bbs/viewthread.php?tid=9296945&authorid=2530333
这样的(n-1)长度序列恰好有  个.
由于方法A,B是一体两面的, 所以Edstrayer 的恒等式成立. |
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