版块导航: 正在加载中...

登录注册

应《网络安全法》要求，自2017年10月1日起，未进行实名认证将不得使用互联网跟帖服务。为保障您的帐号能够正常使用，请尽快对帐号进行手机号验证，感谢您的理解与支持！

24小时热门版块排行榜

北京石油化工学院2026年研究生招生接收调剂公告

返回列表

当前只显示满足指定条件的回帖，点击这里查看本话题的所有回帖

[交流] 关于一个组合恒等式的小题目

问题设 $n\geqslant 3$ ，试证下面的组合恒等式成立：

$\sum\limits_{\stackrel{k+r\leqslant n-1}{k\geqslant 1,r\geqslant 1}}C_n^k\cdot C_{n-k}^r=3\left(3^{n-1}-2^n+1\right)$

回复此楼

» 猜你喜欢

一志愿武汉理工，总分321，英一数二，求老师收留。已经有5人回复
324求调剂已经有8人回复
284求调剂已经有12人回复
348求调剂已经有3人回复
329求调剂已经有7人回复
求调剂，一志愿南京航空航天大学大学，080500材料科学与工程学硕已经有4人回复
考研调剂已经有9人回复
304材料求调剂已经有4人回复
一志愿郑大085600，310分求调剂已经有3人回复
317求调剂已经有7人回复

» 抢金币啦！回帖就可以得到:

查看全部散金贴

1楼 2015-08-28 05:08:25

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

hank612

至尊木虫 (著名写手)

数学EPI: 14
应助: 225 (大学生)
金币: 14270.6
帖子: 1526
在线: 1375.8小时
虫号: 2530333

★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖

可以参考名著 A=B 的思路.
从哲学来说, 恒等式是一体两面, (对同一个物体用两种计数方式)

设有一个长度为n 的序列, 序列每个元素取值只限于ABC.
现在要求在序列中, A,B,C 出现各至少一次. 问这种序列有多少个. (n大于等于3)

方法A: n个位置取k 个给A, (k大于等于1); 在剩下的 (n-k)个位置里取r 个给B (r大于等于1, 但要求 k+r<n以留出位置给C), 剩下的 n-k-r 位置自然就填C. 所以这种序列总数恰好就是等式左边.

方法B: 先随便填第一个位置, 有三种选择A或B或C. 比方说, 填A.
然后, 在剩下的(n-1)个位置, 每一个位置可以有三种选择, 但要求这(n-1)个位置必须含至少一个B 和至少一个C. (这样一来, 序列必然包含A,B,C至少各一个)

由 sinvay 的启发性贴子,
https://muchong.com/bbs/viewthread.php?tid=9296945&authorid=2530333

这样的(n-1)长度序列恰好有 $3^{n-1}-2^n+1$ 个.

由于方法A,B是一体两面的, 所以Edstrayer 的恒等式成立.

赞一下

回复此楼

69楼2015-08-29 00:35:20

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

查看全部 71 个回答

简单回复

Song浅简莫14楼

2015-08-28 06:59 回复

Edstrayer(金币+1): 谢谢参与

。 [ 发自小木虫客户端 ]