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ybkooo

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[求助] 求一个双曲线离心率题目的简单解法

求一个双曲线的离心率

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abcd

1楼 2015-08-03 19:23:50

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ybkooo

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4楼: Originally posted by hank612 at 2015-08-05 13:02:55
楼主的解法已经相当地直接了当，甚难改进。我从偏心率e的角度提供各不同思路, 仅供参考，计算量差不多。

题目只要求出偏心率e, 楼主可以不妨设a=1, 从而 c=a*e=e，b^2=c^2-a^2=e^2-1

设点A坐标(x,y), 点C坐标 ...

厉害……

请问图中的是怎么化简的

再有，圆锥曲线都有准线嘛，如下？
  对于椭圆方程（以焦点在X轴为例） x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0 a为半长轴 b    为半短轴 c为焦距的一半)
  准线方程 x=a^2/c x=-a^2/c

对于双曲线方程（以焦点在X轴为例） x^2/a^2-y^2/b^2=1 (a,b>0)
  准线方程 x=a^2/c x=-a^2/c

  抛物线（以开口向右为例） y^2=2px（p>0）
  准线方程 x=-p/2

123.png

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abcd

5楼2015-08-05 22:57:41

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图1为题目；图2为一种解法，但过程复杂
求一种简单解法

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abcd

3楼2015-08-03 19:26:23

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hank612

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3楼: Originally posted by ybkooo at 2015-08-03 19:26:23
图1为题目；图2为一种解法，但过程复杂
求一种简单解法

aaa.png

bbbb.png
...

楼主的解法已经相当地直接了当，甚难改进。我从偏心率e的角度提供各不同思路, 仅供参考，计算量差不多。

题目只要求出偏心率e, 楼主可以不妨设a=1, 从而 c=a*e=e， $b^2=c^2-a^2=e^2-1$

设点A坐标(x,y), 点C坐标(u,v). 从原点O为直角三角形BFA 斜边中点知道 OA=OF=e, 解联立方程 $x^2+y^2=e^2, x^2-\frac{y^2}{e^2-1}=1$ 得到 $x=\frac{\sqrt{2e^2-1}}{e}$

由于偏心率的定义：双曲线上的任意点到焦点F的距离比值于该点到准线 [x=a/e] 等于 e.
知道 BF=e(x+a/e), CF=e(u-a/e). 因此 BF=CF 推出 u=x+2/e.

由三角形相似(点(x,0),点(u,0), 点A，F， C) 得到
$\frac{u-c}{c-x}=\frac{FC}{AF}=\frac{e(u-a/e)}{e(x-a/e)}$ , 即 $\frac{(u-c)+(c-x)}{c-x}=\frac{(u-a/e)+(x-a/e)}{x-a/e}$ , 化简得到
$(\frac{1}{e}-e)x=\frac{1}{e^2}-x^2$

带入x的表达式，得 $\frac{\sqrt{2e^2-a}}{e}\cdot \frac{(1-e^2)}{e}=\frac{2-2e^2}{e^2}$ , 立得 $\sqrt{2e^2-1}=2, e=\frac{\sqrt{10}}{2}$