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美丽的小草

新虫 (初入文坛)

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[求助] 减函数定积分小于等于f（k）？？？已有5人参与

为什么定积分k,k+1,f（x）dx小于等于f（k）,k=1,2...n-1,f（x）是减函数

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1楼 2015-08-02 15:57:35

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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

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【答案】应助回帖

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美丽的小草(Edstrayer代发): 金币+2 2015-12-18 02:14:45

这个结论真的不一定成立。比如函数f(x)在[k,k+1]之间虽然是下降趋势，但波动非常剧烈，这个结论不一定成立。但若能再加上f(x)在区间[k,k+1]之内是单调的，则结论成立。
Integral{f(x)*dx ,k, k+1}≤f(k)
由拉格朗日中值定理：
左边 Integral{f(x)*dx ,k, k+1}=f{k+θ*[(k+1)-k]}=f(k+θ),
此处 0≤θ≤1 。
代入原积分中就得到： f(k+θ)≤f(k)
由于k+θ≥k,且f(x)在区间[k,k+1]之内是单调的，因此f(x)是减函数。