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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 考博考研 » 减函数定积分小于等于f（k）？？？
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美丽的小草

新虫 (初入文坛)

[求助] 减函数定积分小于等于f（k）？？？ 已有5人参与

为什么定积分k,k+1,f（x）dx小于等于f（k）,k=1,2...n-1,f（x）是减函数

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
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1楼 2015-08-02 15:57:35
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wurongjun

专家顾问 (职业作家)

【答案】应助回帖

★ ★
感谢参与，应助指数 +1
美丽的小草(Edstrayer代发): 金币+2 2015-12-18 02:14:28
定积分的基本性质之一!
f(x)<=f(k)
两边同时积分!
减函数定积分小于等于f（k）？？？
jf.JPG
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善恶到头终有报,人间正道是沧桑.
2楼2015-08-02 16:56:19
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lovelotuss

铜虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
中值定理应该可以证明，但是需要函数连续

[ 发自小木虫客户端 ]
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藕
3楼2015-08-02 16:58:34
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

★ ★
感谢参与，应助指数 +1
美丽的小草(Edstrayer代发): 金币+2 2015-12-18 02:14:45
这个结论真的不一定成立。比如函数f(x)在[k,k+1]之间虽然是下降趋势，但波动非常剧烈，这个结论不一定成立。但若能再加上f(x)在区间[k,k+1]之内是单调的，则结论成立。
Integral{f(x)*dx ,k, k+1}≤f(k)
由拉格朗日中值定理：
左边 Integral{f(x)*dx ,k, k+1}=f{k+θ*[(k+1)-k]}=f(k+θ),
此处 0≤θ≤1 。
代入原积分中就得到： f(k+θ)≤f(k)
由于k+θ≥k,且f(x)在区间[k,k+1]之内是单调的，因此f(x)是减函数。
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4楼2015-08-02 17:18:52
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sanyuwen

新虫 (初入文坛)

【答案】应助回帖

★ ★
感谢参与，应助指数 +1
美丽的小草(Edstrayer代发): 金币+2 2015-12-18 02:15:14
请见图片。
减函数定积分小于等于f（k）？？？-1
1.PNG
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5楼2015-08-03 08:47:17
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hylpy

专家顾问 (知名作家)

唵嘛呢叭咪吽

【答案】应助回帖

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同意楼上的意见。这个结论不能确定。
由定积分的Riemann和可知，对某个分割π，区间[k,k+1]内的rRiemann和为：

而由已知：上式和不大于f(x),又因为上式中的k为0，1，....，n-1，任意。所以对于分割π，任意区间内其积分和（积分函数）均不大于f(x)，但由些并不能确定被积函数一定是减函数。也可能是在各个积分区间内波动，但均不大于f(x).
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凡事，一笑而过。。。。。。
6楼2015-08-03 09:04:43
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