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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 一道平面几何题
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基极电流

铁杆木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

一看这题就想到用解析几何的方法证，把所有的点、线都用A、B、C三个已知点的坐标来表示，似乎没有难度，但比较繁。楼主要求“简洁明快”的证明，还真得慢慢想一想。
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西湖太小
11楼2015-07-24 11:47:17
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基极电流

铁杆木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

引用回帖:
11楼: Originally posted by 基极电流 at 2015-07-24 11:47:17
一看这题就想到用解析几何的方法证，把所有的点、线都用A、B、C三个已知点的坐标来表示，似乎没有难度，但比较繁。楼主要求“简洁明快”的证明，还真得慢慢想一想。

哦，除了A、B、C三个已知点的坐标，还需要那个以A为圆心的圆gama的半径这个参数。但这个参数的范围也是可以用来表示的。
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西湖太小
12楼2015-07-24 11:58:52
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
引用回帖:
12楼: Originally posted by 基极电流 at 2015-07-24 11:58:52
哦，除了A、B、C三个已知点的坐标，还需要那个以A为圆心的圆gama的半径这个参数。但这个参数的范围也是可以用来表示的。...

你可以把证明发到版上么？ 我好给你评分

自从吴文俊老师发明机器证明后， 解析几何都可以直接简单暴力搞定， 代价是美感少了许多。。。
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We_must_know. We_will_know.
13楼2015-07-24 12:16:00
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基极电流

铁杆木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

引用回帖:
13楼: Originally posted by hank612 at 2015-07-24 12:16:00
你可以把证明发到版上么？ 我好给你评分

自从吴文俊老师发明机器证明后， 解析几何都可以直接简单暴力搞定， 代价是美感少了许多。。。...

已知A、B、C三点的坐标分别是Ax,Ay,Bx,By,Cx,Cy，则圆Omiga的方程已知，点O的坐标也可得。引入圆Gama的半径R（因为D、E必须在线段BC上，所以这个半径R的范围也可由Ax,Ay,Bx,By,Cx,Cy表达），可写出圆Gama的方程，从而得到F、G的坐标，所以△BDF的外接圆和△CGE的方程都可以写出来，所以K、L点的坐标也就知道了，所以X点的坐标也就知道了，这样就可以计算X是否在线段AO上了。
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西湖太小
14楼2015-07-24 12:38:06
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木易山水

金虫 (小有名气)
引用回帖:
11楼: Originally posted by 基极电流 at 2015-07-24 11:47:17
一看这题就想到用解析几何的方法证，把所有的点、线都用A、B、C三个已知点的坐标来表示，似乎没有难度，但比较繁。楼主要求“简洁明快”的证明，还真得慢慢想一想。

目测解析几何的方法悬，即使最后所有的坐标你都有了，但是如果不能从坐标中找出隐含的几何意义，你也未必能证明出来。
就像给你椭圆的方程，你可能无法意识到焦点以及曲线的几何意义
坐标方法去做几何证明题在刚开始的思路是清晰的，但是做到某一步后就会面对一大堆代数式无路可走
不过这个题你可以试试

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
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大师远去，新的一代正在成长
15楼2015-07-24 17:33:36
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feixiaolin

荣誉版主 (文坛精英)

优秀版主
feixiaolin: 回帖置顶 2015-07-27 08:34:57
引用回帖:
4楼: Originally posted by hank612 at 2015-07-20 02:55:12
feixiaolin

我们都经历过无数的考试，知道一张卷子里有送分题，给大家一些基础分数； 还有一些大题，用来拉开分数差距的。

这道平面几何题，只要倒腾角度就可以了，在奥数这个水平上，勉强算送分题吧。 我把 ...

我们先准备一个引理。过A点作垂线， 则
证明是显然的，做C点关于直线AO的对称点C'， 那么. 由于, 自然有AP旋转到AO的角度等于CB旋转到 的角度。

现在开始正餐。就是比较角度啦。
由于DBFK四点共圆，有
另外，由一些等腰三角形，知道, ,
于是




由于引理的， 得到

可是F,G两点关于直线AO对称，这意味着，X 点必须落在AO上。


Hank612的站内信截图，见附件 111.png
一道平面几何题
111.PNG
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16楼2015-07-27 08:34:39
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