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mrrabbitsir

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[求助] 求计算勒让德多项式的一个式子已有2人参与

${L_{n + 1}}(x) = \frac{1}{{{2^{n + 1}}(n + 1)!}}\frac{{{d^{n + 1}}}}{{d{x^{n + 1}}}}{({x^2} - 1)^{n + 1}} = \frac{{(2n + 2)(2n + 1)..(n + 2)}}{{{2^{n + 1}}(n + 1)!}}(x - {x_0})(x - {x_1})..(x - {x_n}) = \frac{{(2n + 2)!}}{{{2^{n + 1}}{{\left[ {(n + 1)!} \right]}^2}}}\prod\limits_{j = 0}^n {(x - {x_j})}$
其中怎么得到 $L_{n + 1}}(x)=\frac{1}{{{2^{n + 1}}(n + 1)!}}\frac{{{d^{n + 1}}}}{{d{x^{n + 1}}}}{({x^2} - 1)^{n + 1}} = \frac{{(2n + 2)(2n + 1)..(n + 2)}}{{{2^{n + 1}}(n + 1)!}}(x - x_0)(x - {x_1})..(x - {x_n})$ 的？
我的想法是，由于最高为2n次项，求导n次，则求导完成后是n次多项式，即 $(x - x_0)(x - {x_1})..(x - {x_n})$ 然后，最高次的系数为 $(2n + 2)(2n + 1)..(n + 2)$ ，然后提出，即有 $\frac{{(2n + 2)(2n + 1)..(n + 2)}}{{{2^{n + 1}}(n + 1)!}}(x - x_0)(x - {x_1})..(x - {x_n})$
不知道这样的想法对不对？

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1楼 2015-04-23 00:10:11

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wurongjun

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专业: 计算数学与科学工程计算
管辖: 数学

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
mrrabbitsir: 金币+5, ★★★很有帮助 2015-04-24 09:48:37

基本正确!
补充说明一下: x0,..xn是n+1次勒让德多项式的n+1个零点!

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善恶到头终有报,人间正道是沧桑.

2楼2015-04-23 10:41:57

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zaq123321

专家顾问 (著名写手)

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数学EPI: 6
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在线: 539.9小时
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性别: MM
专业: 生物大分子结构与功能
管辖: 数学

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
mrrabbitsir: 金币+5, ★★★很有帮助 2015-04-24 09:49:03

It's right. Just comparing the leading coefficient yields the equality.

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]

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小木虫给我温暖，给我希望，爱就要爱小木虫。

3楼2015-04-24 02:49:48

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