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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 关于康托尔－伯恩斯坦－施罗德定理的证明问题
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arftx

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毛毛虫

[求助] 关于康托尔－伯恩斯坦－施罗德定理的证明问题 已有1人参与

看到网上多个版本的证明都随意用到了无限个集合的并，比如百科中给的一个方法，如我上传的图片。也可直接维基百科康托尔－伯恩斯坦－施罗德定理。证明中用到了递归定义了Cn，并给出集合C=所有Cn的并，我想问的是直接这么做合理吗？如果完全使用集合论ZF公理（函数也认为是一种集合，即某种关系），哪些公理保证存在所有Cn？哪些公理保证  C=所有Cn的并  这个集合可以被定义(构造)？

或者帮我找个完全依赖集合论公理的证明方法，据说康托最初证明是用集合论，我找不着文献。求高人指教！证明中文英文皆可。

关于康托尔－伯恩斯坦－施罗德定理的证明问题
康托尔－伯恩斯坦－施罗德定理.png
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1楼 2015-04-02 22:54:35
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arftx

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毛毛虫
自己顶个，求解惑！

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2楼2015-04-03 00:17:44
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终之太刀—晓

铁杆木虫 (著名写手)

数学爱好者

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
先给出以下的引理：
关于康托尔－伯恩斯坦－施罗德定理的证明问题-1
1.1.png


关于康托尔－伯恩斯坦－施罗德定理的证明问题-2
1.2.png


关于康托尔－伯恩斯坦－施罗德定理的证明问题-3
1.3.png
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PreferenceforMathematics
3楼2015-04-03 02:28:53
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终之太刀—晓

铁杆木虫 (著名写手)

数学爱好者

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
arftx: 金币+20, ★★★★★最佳答案, 非常及时地解决问题！ 2015-04-03 08:57:10
引用回帖:
3楼: Originally posted by 终之太刀—晓 at 2015-04-03 02:28:53
先给出以下的引理：

1.1.png

1.2.png

1.3.png
...

然后给出定理的两种证明方法：
关于康托尔－伯恩斯坦－施罗德定理的证明问题-4
1.4.png


关于康托尔－伯恩斯坦－施罗德定理的证明问题-5
1.5.png


关于康托尔－伯恩斯坦－施罗德定理的证明问题-6
1.6.png


关于康托尔－伯恩斯坦－施罗德定理的证明问题-7
1.7.png
赞一下(1人) 回复此楼
PreferenceforMathematics
4楼2015-04-03 02:29:56
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arftx

捐助贵宾 (小有名气)

毛毛虫
引用回帖:
4楼: Originally posted by 终之太刀—晓 at 2015-04-03 02:29:56
然后给出定理的两种证明方法：

1.4.png

1.5.png

1.6.png

1.7.png
...

非常感谢！第一种使用引理的证法目测确实完全由ZF公理和逻辑规则导出。第二种却潜在用了归纳。。能告诉我你这是那个书上的吗？还有，集合论公理体系好像没把数学归纳或超限归纳作为公理，归纳的正确性能由公理体系导出？

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5楼2015-04-03 08:56:05
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