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天道酬勤

1楼2015-03-25 13:05:05

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终之太刀—晓

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【答案】应助回帖

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895701777: 金币+1, ★★★★★最佳答案, 只有1个金币可以分了，下次我多设置点 2015-03-26 09:04:32
feixiaolin: 金币+3 2015-03-26 09:20:46

引用回帖:

14楼: Originally posted by 895701777 at 2015-03-25 19:48:51
每个人，我都发放了金币的，但有个楼主，没分到，因为只有10个金币，不够分，下次我多设置点金币

如Lz所言，不需要用上Abel定理。
下面的图片是此题的具体证明过程：（附：第3问可以略去）

1.png

2.png

3.png

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895701777

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15楼2015-03-25 22:25:59

feixiaolin

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积分与级数交换次序，提出sin(pi*t)，幂级数部分在【0，1】区间收敛

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2楼2015-03-25 14:07:07

feixiaolin

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4楼: Originally posted by bnuliuqing at 2015-03-25 14:12:51
1这点呢？加不了。必须填写15个字符以上...

sin(pi*t/n)<1 via n>=1
t^n*sin(pi*t)=Im[t*exp(i*pi*t/n)]^n
t=1不必单独考虑。

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5楼2015-03-25 14:22:17

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bnuliuqing

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895701777: 金币+3 2015-03-25 19:47:42

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3楼2015-03-25 14:09:46

bnuliuqing

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895701777: 金币+3 2015-03-25 19:47:35

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4楼2015-03-25 14:12:51

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5楼: Originally posted by feixiaolin at 2015-03-25 14:22:17
sin(pi*t/n)<1 via n>=1
t^n*sin(pi*t)=Im^n
t=1不必单独考虑。...

有参考例子吗？传统的方法，在x=1时，不好讨论，复数的话，是什么方法？

天道酬勤

6楼2015-03-25 16:50:56

895701777

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2楼: Originally posted by feixiaolin at 2015-03-25 14:07:07
积分与级数交换次序，提出sin(pi*t)，幂级数部分在【0，1】区间收敛

【0,1），才是一般的收敛区间

天道酬勤

7楼2015-03-25 17:01:28

895701777

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3楼: Originally posted by bnuliuqing at 2015-03-25 14:09:46
只需要考虑x=1的情况即可，这时候最大。将区间在1-根号n分之一这里分开。

能详细的说一下吗？把区间怎么分？

天道酬勤

8楼2015-03-25 17:01:57

895701777

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4楼: Originally posted by bnuliuqing at 2015-03-25 14:12:51
1这点呢？加不了。必须填写15个字符以上...

？？

天道酬勤

9楼2015-03-25 17:02:07

终之太刀—晓

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895701777: 金币+3, ★★★★★最佳答案 2015-03-25 19:47:20

易得级数在[0,1)上一致收敛，设和函数为S(x)。
交换积分与求和次序，求得和函数S(x)=∫[0,x] sin(πt)/(1-t) dt，x∈[0,1)。

对于x=1点情况，先考虑和函数，也就是S(1)=∫[0,1] sin(πt)/(1-t) dt。
而被积函数f(t)=sin(nt)/1-t，lim (t→1-0) f(t)=π有限,
作延拓函数g(t)=f(t)，0<=t<1；
=π，t=1。
则S(1)=∫[0,1] f(t) dt=∫[0,1] g(t) dt为有限值。

最后根据Abel定理，可知在x=1处级数亦收敛，从而命题得证。#

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10楼2015-03-25 17:22:57