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易得级数在[0,1)上一致收敛，设和函数为S(x)。 交换积分与求和次序，求得和函数S(x)=∫[0,x] sin(πt)/(1-t) dt，x∈[0,1)。 对于x=1点情况，先考虑和函数，也就是S(1)=∫[0,1] sin(πt)/(1-t) dt。 而被积函数f(t)=sin(nt)/1-t，lim (t→1-0) f(t)=π有限, 作延拓函数g(t)=f(t)，0<=t<1； =π，t=1。 则S(1)=∫[0,1] f(t) dt=∫[0,1] g(t) dt为有限值。 最后根据Abel定理，可知在x=1处级数亦收敛，从而命题得证。# |
10楼2015-03-25 17:22:57
