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这道题目，怎么做

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天道酬勤

1楼2015-03-25 13:05:05

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终之太刀—晓

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【答案】应助回帖

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895701777: 金币+3, ★★★★★最佳答案 2015-03-25 19:47:20

易得级数在[0,1)上一致收敛，设和函数为S(x)。
交换积分与求和次序，求得和函数S(x)=∫[0,x] sin(πt)/(1-t) dt，x∈[0,1)。

对于x=1点情况，先考虑和函数，也就是S(1)=∫[0,1] sin(πt)/(1-t) dt。
而被积函数f(t)=sin(nt)/1-t，lim (t→1-0) f(t)=π有限,
作延拓函数g(t)=f(t)，0<=t<1；
=π，t=1。
则S(1)=∫[0,1] f(t) dt=∫[0,1] g(t) dt为有限值。

最后根据Abel定理，可知在x=1处级数亦收敛，从而命题得证。#