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xingchm

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[求助] 二阶非齐次递推数列求通项已有2人参与

请高手给出较为详细的求解步骤，学习了，谢谢

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附件 1 : 二阶非齐次递推数列求通项.doc

2015-03-18 23:36:43, 16.5 K

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小木虫，挺好的

1楼 2015-03-18 23:34:39

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peterflyer

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【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1

感觉这个问题可以借助于Z变换以及它的逆变换来解决吧。

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2楼2015-03-19 14:41:42

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peterflyer

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【答案】应助回帖

当然，此时需要加一个条件：要求n为正整数。

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3楼2015-03-19 14:43:06

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yancj2004

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【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1

可采用mathematica求解。

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4楼2015-03-19 23:12:07

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yancj2004

新虫 (小有名气)

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【答案】应助回帖

RSolve[{a[n + 1] + a[n] - a[n - 1] ==
1/2 + ((1 + Sqrt[2])^(n + 2) + (1 - Sqrt[2])^(n + 2))/4, a[0] == 1,
a[1] == 1}, a[n], n]
数列a0-a11项数值如下：
{1,1,4,6,19,37,102,224,575,1331,3304,7828}
这是采用mathematica求解的命令。由于结果太复杂，所以通项表达式未列。

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5楼2015-03-20 09:24:11

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hank612

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这类题目，都是有格式化解题步骤的，只需要耐心和细心

1。设 $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ . 递推公式两边同时乘以 x^{n+1}，并且对n求和, 从n=1到无穷，于是得到（记得减去可能缺失的起始的若干项）

2。递推公式各项分别对应于：左边 $f(x)-1-x$ , 右边五项分别为： $x^2f(x)$ , $-x(f(x)-1)$ , $\frac{x^2}{2}\frac{1}{1-x}$ , $\frac{(1+\sqrt{2})^3x^2}{4}\frac{1}{1-(1+\sqrt{2})x}$ 和
$\frac{(1-\sqrt{2})^3x^2}{4}\frac{1}{1-(1-\sqrt{2})x}$

3.稍加化简，解得 $(1+x-x^2)f(x)=\frac{1-x-x^2}{(1-x)(1-2x-x^2)}$
立刻看出， f(x)作为有理分式，分母只有单重实根，于是做部分和分解（参考有理分式积分时的操作步骤）成五项形如 $\frac{c}{x-r}$ 之和。

4。于是由f(x)分母的5个单根，直接写出 $a_n$ 的五个部分：
$\frac{2}{3\sqrt{5}}\left(\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\right)^n$ , 加上 $\frac{-2}{3\sqrt{5}}\left(\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\right)^n$ , 加上
$\frac{-4+3\sqrt{2}}{12\sqrt{2}}(1-\sqrt{2})^n$ , 加上
$\frac{4+3\sqrt{2}}{12\sqrt{2}}(1+\sqrt{2})^n$ ,最后加上 $\frac{1}{2}$

5. 最后验证一下是否有 $a_{11}=7828$

Emuch027 通项.png

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We_must_know. We_will_know.

6楼2016-06-29 22:53:46

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bluesine

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引用回帖:

6楼: Originally posted by hank612 at 2016-06-29 22:53:46
这类题目，都是有格式化解题步骤的，只需要耐心和细心

1。设f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n. 递推公式两边同时乘以 x^{n+1}，并且对n求和, 从n=1到无穷，于是得到（记得减去可能缺失的起始的若干项）

2。递 ...

hank大神把级数展开和通项公式联系到了一起，感觉脑洞大开！~~~~佩服佩服

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板凳要做十年冷文章不发一个字

7楼2016-06-30 15:19:03

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