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1楼 2015-02-05 15:42:19

已阅关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

hank612

至尊木虫 (著名写手)

数学EPI: 14
应助: 225 (大学生)
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专业: 理论和计算化学

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晨曦2013(feixiaolin代发): 金币+40 2015-02-06 09:21:35

引用回帖:

5楼: Originally posted by 晨曦2013 at 2015-02-05 17:44:52
1.证明15阶子群至多含有一个正规子群。
2.设G是n=st阶循环群，且（s,t）=1,证明群G可以表示成s阶和t阶子群的外直积。
3.设G是有限交换群，H和K是G的两个阶数分别为s,t的自取，若H交K={0}，则H+K是G的st阶子群。
...

1.
15阶子群一定是循环群 $\mathbb{Z}_15.$ , 楼主结论不对.
http://www.cnblogs.com/xixifeng/p/3875533.html
如果|G|=15, 那么由Sylow第三定理, Sylow_3, Sylow_5子群的个数都只能为1, 因此Sylow_3子群H, Sylow_5子群K都是正规子群. 那么, 由于G/H, G/K都是交换群, 所以换位子群G'既包含于H,也包含于K, 所以G'=1, 即G是交换群. 而pq阶(p,q不同素数)的交换群都是循环的.

2.
设G=<a> 是n=st阶循环群，且（s,t）=1,那么存在整数m,n使得ms+nt=1. 于是对G中的任意元素a^k, 有表达式 $a^k=(a^t)^{kn}\cdot (a^s)^{km} \in <a^t> x <a^s>$ , 所以群G可以表示成s阶和t阶子群的外直积。

3.
G是交换群, 所以一切子群都是正规子群. 由同态第X定理, $(HK)/H\equiv K/(H\cap K)$ , 因此HK的阶为st.

4.
环根据定义验证.单位元为n阶恒同矩阵. 单位群由行列式非零的上三角矩阵组成,( 就是可逆上三角矩阵啦)

5.
设x=a+bi+cj+dk在四元数环的中心内, 由xi=ix推出: c=0, d=0. 由xj=jx推出b=0, d=0. 因此x=a为实数. 即 $Z[\mathbb{H}]=\mathbb{R}$ .