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wall_2012

铁虫 (小有名气)

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[求助] 矩阵证明

设两个列满秩矩阵 $A_{p\times q}$ 和 $B_{p\times (p-q)}$ 满足 $A'B=0$ ,试证明：对任意的正定阵 $S$ ,有
$S^{-1}-S^{-1}A(A'S^{-1}A)^{-1}A'S^{-1}=B(B'SB)^{-1}B'$

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1楼 2015-01-15 22:59:54

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hank612

至尊木虫 (著名写手)

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★ ★ ★ ★ ★
wall_2012(feixiaolin代发): 金币+5 2015-01-17 15:50:06

引理: 如果S正定, 那么(Sv,v)>0, 对于任意非零向量 $0\neq v\in V^p$ .

由于A,B列满秩,并且A'B=0, 因此Range(A)和Range(B)构成V^p的正交分解.

这也意味着, 如果y不等于零, 因为SB(y)在Range(B)中正交投影,至少B(y)部分,非零, 所以SB(y)不属于Range(A)空间. 换句话说, Range(A) 和Range(SB)构成V^p的直和分解.

对于任意 $v\in V^p$ , 存在 $x\in V^{q}, y\in V^{p-q}$ 使得 $v=Ax+SBy$

于是由A'B=0, B'A=0知道

$(S^{-1}A(A'S^{-1}A)^{-1}A'S^{-1}+B(B'SB)^{-1}B')(Ax+SBy)=S^{-1}Ax+By=S^{-1}(Ax+SBy)$ ,

所以

$(S^{-1}A(A'S^{-1}A)^{-1}A'S^{-1}+B(B'SB)^{-1}B')=S^{-1}$

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We_must_know. We_will_know.

2楼2015-01-16 04:32:57

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wall_2012

铁虫 (小有名气)

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引用回帖:

2楼: Originally posted by hank612 at 2015-01-16 04:32:57
引理: 如果S正定, 那么(Sv,v)>0, 对于任意非零向量0\neq v\in V^p.

由于A,B列满秩,并且A'B=0, 因此Range(A)和Range(B)构成V^p的正交分解.

这也意味着, 如果y不等于零, 因为SB(y)在Range(B)中正交投影,至少 ...

(Sv,v)>0，请问一下，这个符号表示什么意思啊？

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3楼2015-01-21 20:05:14

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