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http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=81613&do=blog&id=850784 数学是最复杂的研究性学科之一，其研究的先修基础要求很高，所以学习过程也非常需要技术性。中国的数学教材多偏向于苏联风格，不易读，无形中提高了门槛。所以一个合适的教学体系和教材推荐对于数学的学习至关重要。 这份数学书单，是根据法国巴黎高等师范学校（数学最牛校，没有之一）的指定教材及教授推荐给出，在保持了学术难度的情况下降低学习门槛。这套书目是这套教材构成一个完整的数学教材体系，都是教得特别深入浅出的专著，特别适合自学提高。 以下是按照学习推荐进度排序的，分本科生和研究生的课程。自学起点是高中毕业。 数学本科： 如果大家对微积分已经可以定量算了（例如可以计算面积分），就请跳过第一本，否则需要补充一下普通微积分的基础。 《Calculus》 这是绝对的入门书籍，基础向。如果大家之前学过高数，就可以忽略这一本了。 下面就开始严格的数学训练了： 数学分析（一）（英文版）byApostol 数学分析（二）（英文版）byApostol 本书为美国大学标准数分教材。数分是一切的基础，没有数分的底子，实变学十遍也没用。可是很多人在初入数学殿堂就立志不做数学了，就是因为采用了苏联风格的中文教材，实在悲剧。学数学本来就是一件快乐而清晰的事情，所以第一本至关重要。请看这本吧，看完之后你会发现中文数分教材很坑爹。 《Linear.Algebra.done.right》by Axler 好书能让人顺理成章地领悟新概念，烂书能让人放弃理想。这是一本中规中矩但清晰易读的好书。薄薄两百多页，很快就能读完。 《Allthe Mathematics you missed but need to know》by Garrity 校长建议大家学完数分和线代之后，不要直接开始学复变或者实变，可以先开始感受一下高级数学的美。这本书可以使读者很容易看透其中的数学本质。仿佛度假观光一样，举重若轻地谈了很多深刻的数学领域，例如拓扑和“形式(form)”。数学系的人，先读点轻松的数学入门，日后在读深入的著作将有高屋建瓴之效。 有了一定的数学概念以后，再开始读基础向的书籍。 分析类： 对于实变和复变之争的问题，校长认为应该先学复变。虽然复数域大家比较不熟悉，可是复数域的性质比实数域要规整很多，一阶可导，阶阶可导。这么完美的属性在数学中可不多。学习应该先学简单的在学复杂的。 复变和实变皆推荐Princeton大神Stein的著作 《ComplexAnalysis by》EliasM. Stein, Rami Shakarchi 实变 《RealAnalysis》by Elias M. Stein, Rami Shakarchi 对于数学这种复杂度和抽象程度极高的学科，光看不行，必须有配套的习题作为质量保证。推荐这本《A ComplexAnalysis Problem Book》。 有了实变复变的分析学基础后，看泛函分析将是如鱼得水。 泛函推荐两本，第一本入门，第二本提高（建议在学完拓扑后再看） 第一本： 《FunctionalAnalysis》byPeter Lax 第二本： 《functioanlanalysis》by.Walter.Rudin Rudin和物理中的Griffith一样，Rudin在数学分析领域所做的杰出工作可能并不广为人知，但他的三本教科书被翻译成多种语言版本，供世界各地的大学生使用。这是他的第三本也是最成功的一本分析学教材，获得1993年美国数学会颁发的Leroy P.Steel奖。大家看完这一本，下一个该做的事情就是把中文版泛函分析教材烧了（当然，中英互译的附录可以留下来背单词用）。 概率类： 数学系的同学先通过工科概统有一个直观的感受：（关于这一点，我想很多人都有类似的想法吧） 《Foundamentalof Probability and Statistics for engineers》by Soong 在加强数学严密性训练： 《Foundationof Modern Probability》byKallenberg 代数类： 《A.first.course.in.abstract.algebra》by Rotman 你会惊讶于，为什么对新手而言这么难的一门课能够被他讲得如此生动。你应该知道看完它应该做什么了吧？对的——烧中文书。另外说一句，群论的始祖伽罗华就出自巴黎高师。 下面就进入经典的点集拓扑的学习，点集拓扑推荐这本 《BasicTopology》byArmstrong. 当然，既然已经学过了分析和拓扑，下一步学习流形就顺理成章了。 这本流形上的张量分析很好地介绍了广义相对论中数学的应用。作为本科生，了解一下未来各个方向的内容至关重要。 《Tensoranalysis on Manifolds》 学抽代和拓扑完直接学代数拓扑？其实没必要，高师就是把代数拓扑放在研究生一年级的。你可以先更好地理解一下群论中的Isomor phism和FreeGroup这个概念。感受一下应用的美妙（当然不是生活层面的应用，而是稍微具象一些的数学理论，虽然knot theory本身也是研究生的一个细分的专业）推荐这本书： 《Introductionto Knot Theory》CrowellFox 最后你还需要补这两本书就能够本科数学毕业了。 《DifferentialEquations, Dynamical Systems & A Introduction to Chaos》 很好的微分方程入门，对理解nonlinear有奇效。洛伦兹吸引子的魅力也被充分展示。 《An Introduction to Modern Mathematical Computing 》by Borwein, Skerritt 数学研究生： 数学的领域众多，但低年级的研究生入门课程的都必须掌握的。在这些的基础上才有可能谈及后期的研究。 Hatcher的代数拓扑可以说成功地把这门课教得赏心悦目。 《Algebraic.Topology》by A.Hatcher 学研究生基础课代数几何之前要先学交换代数，推荐这本《交换代数六讲》 《Six Lectures on Commutative Algebra》by Elias 《LecturesOn Algebraic Geometry I Sheaves, Cohomology》 《Lectureson Algebraic Geometry II Basic Concepts, Coherent Cohomology, Curves and theirJacobians》 在之前Manifold的张量分析基础上，更好地理解黎曼面，这两本套装不可或缺。 《AnIntroduction To Lie Groups And Lie Algebras 》by Kirillov 连续群在数学和物理各领域的应用极广，这本李群和李代数是不可或缺的好书。 有了以上基础，可以看李群领域的Vinberg三卷套神书（好想吐槽，理论物理中也有Weinberg三卷套神书。。。难道叫berg的都是神？） Lie groups and algebraic groups I -A. L. Onishchik, E. B. Vinberg Lie groups and algebraic groups II -A. L. Onishchik, E. B. Vinberg Lie groups and algebraic groups III -A. L. Onishchik, E. B. Vinberg 最后研究生领域一本基础读物就是这本Operator Theory的书了 Operator Algebras, Operator Theoryand Applications 学数学本就是快乐的事情，我们应该用一套易读而不失专业性的教材来学习。 注：本文是转载的，之所以没把它放在转载类文献中，是想让更多的人看到。 [ 发自手机版 http://muchong.com/3g ] |
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