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木虫 (正式写手)

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[交流] [转载]数学系参考书单已有6人参与

http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=81613&do=blog&id=850784

数学是最复杂的研究性学科之一，其研究的先修基础要求很高，所以学习过程也非常需要技术性。中国的数学教材多偏向于苏联风格，不易读，无形中提高了门槛。所以一个合适的教学体系和教材推荐对于数学的学习至关重要。
这份数学书单，是根据法国巴黎高等师范学校（数学最牛校，没有之一）的指定教材及教授推荐给出，在保持了学术难度的情况下降低学习门槛。这套书目是这套教材构成一个完整的数学教材体系，都是教得特别深入浅出的专著，特别适合自学提高。
以下是按照学习推荐进度排序的，分本科生和研究生的课程。自学起点是高中毕业。
数学本科：
如果大家对微积分已经可以定量算了（例如可以计算面积分），就请跳过第一本，否则需要补充一下普通微积分的基础。

《Calculus》这是绝对的入门书籍，基础向。如果大家之前学过高数，就可以忽略这一本了。
下面就开始严格的数学训练了：

数学分析（一）（英文版）byApostol
数学分析（二）（英文版）byApostol
本书为美国大学标准数分教材。数分是一切的基础，没有数分的底子，实变学十遍也没用。可是很多人在初入数学殿堂就立志不做数学了，就是因为采用了苏联风格的中文教材，实在悲剧。学数学本来就是一件快乐而清晰的事情，所以第一本至关重要。请看这本吧，看完之后你会发现中文数分教材很坑爹。

《Linear.Algebra.done.right》by Axler
好书能让人顺理成章地领悟新概念，烂书能让人放弃理想。这是一本中规中矩但清晰易读的好书。薄薄两百多页，很快就能读完。

《Allthe Mathematics you missed but need to know》by Garrity
校长建议大家学完数分和线代之后，不要直接开始学复变或者实变，可以先开始感受一下高级数学的美。这本书可以使读者很容易看透其中的数学本质。仿佛度假观光一样，举重若轻地谈了很多深刻的数学领域，例如拓扑和“形式(form)”。数学系的人，先读点轻松的数学入门，日后在读深入的著作将有高屋建瓴之效。
有了一定的数学概念以后，再开始读基础向的书籍。
分析类：
对于实变和复变之争的问题，校长认为应该先学复变。虽然复数域大家比较不熟悉，可是复数域的性质比实数域要规整很多，一阶可导，阶阶可导。这么完美的属性在数学中可不多。学习应该先学简单的在学复杂的。
复变和实变皆推荐Princeton大神Stein的著作

《ComplexAnalysis by》EliasM. Stein, Rami Shakarchi
实变

《RealAnalysis》by Elias M. Stein, Rami Shakarchi
对于数学这种复杂度和抽象程度极高的学科，光看不行，必须有配套的习题作为质量保证。推荐这本《A ComplexAnalysis Problem Book》。

有了实变复变的分析学基础后，看泛函分析将是如鱼得水。
泛函推荐两本，第一本入门，第二本提高（建议在学完拓扑后再看）
第一本：

《FunctionalAnalysis》byPeter Lax
第二本：

《functioanlanalysis》by.Walter.Rudin
Rudin和物理中的Griffith一样，Rudin在数学分析领域所做的杰出工作可能并不广为人知，但他的三本教科书被翻译成多种语言版本，供世界各地的大学生使用。这是他的第三本也是最成功的一本分析学教材，获得1993年美国数学会颁发的Leroy P.Steel奖。大家看完这一本，下一个该做的事情就是把中文版泛函分析教材烧了（当然，中英互译的附录可以留下来背单词用）。
概率类：
数学系的同学先通过工科概统有一个直观的感受：（关于这一点，我想很多人都有类似的想法吧）

《Foundamentalof Probability and Statistics for engineers》by Soong
在加强数学严密性训练：

《Foundationof Modern Probability》byKallenberg
代数类：

《A.first.course.in.abstract.algebra》by Rotman
你会惊讶于，为什么对新手而言这么难的一门课能够被他讲得如此生动。你应该知道看完它应该做什么了吧？对的——烧中文书。另外说一句，群论的始祖伽罗华就出自巴黎高师。
下面就进入经典的点集拓扑的学习，点集拓扑推荐这本

《BasicTopology》byArmstrong.
当然，既然已经学过了分析和拓扑，下一步学习流形就顺理成章了。

这本流形上的张量分析很好地介绍了广义相对论中数学的应用。作为本科生，了解一下未来各个方向的内容至关重要。
《Tensoranalysis on Manifolds》
学抽代和拓扑完直接学代数拓扑？其实没必要，高师就是把代数拓扑放在研究生一年级的。你可以先更好地理解一下群论中的Isomor phism和FreeGroup这个概念。感受一下应用的美妙（当然不是生活层面的应用，而是稍微具象一些的数学理论，虽然knot theory本身也是研究生的一个细分的专业）推荐这本书：

《Introductionto Knot Theory》CrowellFox
最后你还需要补这两本书就能够本科数学毕业了。

《DifferentialEquations, Dynamical Systems & A Introduction to Chaos》
很好的微分方程入门，对理解nonlinear有奇效。洛伦兹吸引子的魅力也被充分展示。

《An Introduction to Modern Mathematical Computing 》by Borwein, Skerritt
数学研究生：
数学的领域众多，但低年级的研究生入门课程的都必须掌握的。在这些的基础上才有可能谈及后期的研究。

Hatcher的代数拓扑可以说成功地把这门课教得赏心悦目。
《Algebraic.Topology》by A.Hatcher
学研究生基础课代数几何之前要先学交换代数，推荐这本《交换代数六讲》

《Six Lectures on Commutative Algebra》by Elias

《LecturesOn Algebraic Geometry I Sheaves, Cohomology》
《Lectureson Algebraic Geometry II Basic Concepts, Coherent Cohomology, Curves and theirJacobians》
在之前Manifold的张量分析基础上，更好地理解黎曼面，这两本套装不可或缺。

《AnIntroduction To Lie Groups And Lie Algebras 》by Kirillov
连续群在数学和物理各领域的应用极广，这本李群和李代数是不可或缺的好书。
有了以上基础，可以看李群领域的Vinberg三卷套神书（好想吐槽，理论物理中也有Weinberg三卷套神书。。。难道叫berg的都是神？）

Lie groups and algebraic groups I -A. L. Onishchik, E. B. Vinberg
Lie groups and algebraic groups II -A. L. Onishchik, E. B. Vinberg
Lie groups and algebraic groups III -A. L. Onishchik, E. B. Vinberg
最后研究生领域一本基础读物就是这本Operator Theory的书了

Operator Algebras, Operator Theoryand Applications
学数学本就是快乐的事情，我们应该用一套易读而不失专业性的教材来学习。
注：本文是转载的，之所以没把它放在转载类文献中，是想让更多的人看到。

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