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doudou1219

银虫 (正式写手)

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[求助] 求助一道高数题。用夹逼准则

求解第四题。万分感谢，在线等。。。

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1楼 2014-12-11 19:42:48

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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界

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【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
doudou1219: 金币+10, 博学EPI+1, ★★★★★最佳答案 2015-05-13 22:11:17

第四题的证明：
注意到

$1-x^2\leqslant 1(\forall x\in[0,1])$

显然有：

$a_n=\int_0^1(1-x^2)^ndx\leqslant 1$

另一方面，我们有：

$a_n=\int_0^1(1-x^2)^ndx=\int_0^1(1+x)^n(1-x)^ndx\geqslant\int_0^1(1-x)^ndx=\frac{1}{n+1}$

于是综合上面两个不等式就得到：

$\frac{1}{n+1}\leqslant a_n\leqslant 1$

因此，由夹逼定理就有：

$\lim\limits_{n\to+\infty}\sqrt[uproot10,n]{a_n}=1$

注：最后一步用到了极限

$\lim\limits_{n\to+\infty}\sqrt[uproot10,n]{n}=1$

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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

2楼2014-12-12 03:13:24

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