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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 工科数学 » 请教二阶微分方程的解法
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湘雨潇潇

至尊木虫 (职业作家)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
用拉普拉斯反演去解，但需要知道边界条件，或者用级数法吧。

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11楼2014-11-23 08:49:09
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pippi6

铁杆木虫 (著名写手)

工程和科学数值计算咨询

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
feixiaolin: 金币+5 2014-11-23 09:23:12
此问题在x=0处奇性。你要求 x=0，y=b/=0，那你要么有y'=y/(2a)， 要么有 y'' 无穷。如果是前者，那条件就多了。如果是后者，数值解是不合适的。请好好检查一下定解条件和方程，不要什么地方搞错了。Bessel类型的方程在y前面的系数不含x（在你这种写法下）。整数阶的Bessel函数是极坐标下Fourier展开r方向的展开函数。说一下你问题的背景也许会帮助判断是什么类型的方程。
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12楼2014-11-23 09:01:05
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ttt333yyy

新虫 (小有名气)
引用回帖:
8楼: Originally posted by 终之太刀—晓 at 2014-11-23 03:32:22
再问下楼主，这里常数c<0么？

应该是小于0，这是个翅片传热的计算，翅片是圆台形状的，y相当于温度的变换，x相当于圆台的轴线的距离变化，原方程是这样的x*x* y''+2*x*y'-x*y/A=0
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13楼2014-11-23 09:33:08
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ttt333yyy

新虫 (小有名气)
引用回帖:
10楼: Originally posted by peterflyer at 2014-11-23 08:23:50
用幂级数法求解。
令y=SUM{ak*x^k,k=1~∞}，带入原方程，通过比较方程两边的系数得到：
a1=a0/(2*a)                                                                   (1)
ak=a\sub\(k-1)/      k≥2        ...

能给个详细过程吗？好多年不学数学，都忘了。多谢。
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14楼2014-11-23 09:34:44
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旋木0717

金虫 (小有名气)
y''=(2-1/a)y/x
令y/x=u
则y'=u+xu'
(u+xu')'=(2-1/a)u
xu''=-1/au'
xu''+1/au'=0
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人生，不管酸甜苦辣，都是好的
15楼2014-11-23 09:39:42
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ttt333yyy

新虫 (小有名气)
引用回帖:
12楼: Originally posted by pippi6 at 2014-11-23 09:01:05
此问题在x=0处奇性。你要求 x=0，y=b/=0，那你要么有y'=y/(2a)， 要么有 y'' 无穷。如果是前者，那条件就多了。如果是后者，数值解是不合适的。请好好检查一下定解条件和方程，不要什么地方搞错了。Bessel类型的方程 ...

太感谢了，应该是边界条件我搞错了。本来我做的代换，边界条件却没换过来。这是个翅片传热的计算，翅片是圆台形状的。r^2* θ''+2*r*θ'-r*θ/A=0; 期中 θ=T-T0， r=R-z*tan α. 求温度T与圆台高度z的函数关系式。边界条件是：z=0 时 T=T1；z=H时-k*dT/dz=h*(T-T0). T0,R,α,k,h>0的常数，A<0的常数。
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16楼2014-11-23 09:49:39
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer
引用回帖:
14楼: Originally posted by ttt333yyy at 2014-11-23 09:34:44
能给个详细过程吗？好多年不学数学，都忘了。多谢。...

用幂级数法求解。
令y=SUM{ak*x^k,k=0~∞}，
y'=SUM{ak*k*x^k,k=1~∞}，
y''=SUM{ak*k*(k-1)*x^k,k=2~∞}，
带入原方程中，合并同类项后得到：
(2*a1-a0/a)*x+SUM{{ak*[k*(k-1)+2*k]-a\sub\(k-1)/a}*x^k,k=2~∞}=0
比较等号两端的系数，两者存在衡等的关系。故有
2*a1-a0/a=0                                                               (1)
ak*[k*(k-1)+2*k]-a\sub\(k-1)/a=0        ( k≥2 )               (2)      
a1=a0/(2*a)
ak=a\sub\(k-1)/[a*k*k+1)]
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17楼2014-11-23 10:02:21
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终之太刀—晓

铁杆木虫 (著名写手)

数学爱好者
比较好奇楼主需要的是解析解还是数值解；毕竟幂级数形式的解析解是一个无穷级数，实际计算需要取有限个项，如果收敛速度慢，那么这个方法可能不太好。
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PreferenceforMathematics
18楼2014-11-23 10:09:23
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer
引用回帖:
15楼: Originally posted by 旋木0717 at 2014-11-23 09:39:42
y''=(2-1/a)y/x
令y/x=u
则y'=u+xu'
(u+xu')'=(2-1/a)u
xu''=-1/au'
xu''+1/au'=0

接15楼的计算:
令V=u'
x*V'=-1/a*V
V=C'*x^(-1/a)   C'为积分常数
故u=D+C'/(1-1/a)*x^(1-1/a)=D+C*x^(1-1/a)
故y=x*u=D*x+C*x^(2-1/a)
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19楼2014-11-23 10:10:07
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pippi6

铁杆木虫 (著名写手)

工程和科学数值计算咨询
引用回帖:
16楼: Originally posted by ttt333yyy at 2014-11-23 09:49:39
太感谢了，应该是边界条件我搞错了。本来我做的代换，边界条件却没换过来。这是个翅片传热的计算，翅片是圆台形状的。r^2* θ''+2*r*θ'-r*θ/A=0; 期中 θ=T-T0， r=R-z*tan α. 求温度T与圆台高度z的函数关系式。 ...

这么说来，原方程边界条件不在x=0处? 求助时搞清原方程和边界条件非常重要。不然大家空费脑筋，于楼主又毫无裨益...

看来此方程和Bessel类型方程毫无关系，只能数值求解。如需帮助，可给出具体数值。
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20楼2014-11-23 10:53:38
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