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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 代数问题
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wangyymm

金虫 (著名写手)

[求助] 代数问题

各位大虾,请教几个代数问题:
1.设G是一个阶数为素数p^n的交换群, n是一个大于5的正整数,且对G中的任意元素x有x^p=1,求G的阶数为 p^5的子群个数.

2. 已知A与B都是环的扩张且A是B的子集.如果这两个环都可交换且有相同的单位元1.假设B是有限生成A-模,证明对B中的任何b,都存在一个以A中元素为系数的首一多项式f使得f(b)=0.

3.设G一个有限乘法交换群,如果存在一个映射 f使得  f从G乘G到C*  (C*表示所有非零复数构成的乘法群)满足下列条件：
（1）对G中的任意元素g,g_1,g_2, 都有f(g,  g_1g_2)=f(g, g_1)f(g, g_1);
（2）对G中的任意元素g,g_1,g_2, 都有f(g_1g_2, g)=f(g_1, g)f(g_1, g);
（3）对G中的任意元素g, 都有f(g, g)=1;
（4）对G中的元素g, 如果对G中的任意 h， 都有f(g, h)=1, 则g=1_G  (1_G是G中的单位元).
证明 G的阶是一个平方数。

谢谢！！！
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1楼 2014-11-20 21:03:04
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回帖支持 ( 显示支持度最高的前 50 名 )

sskkyy

银虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

引用回帖:
4楼: Originally posted by wangyymm at 2014-11-22 07:34:13
大虾,好像有个条件"任意元素x有x^p=1"没有使用吧?!...

第一步就用了啊，有限生成交换群结构定理得出G=(Z/p)^n.

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
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5楼2014-11-22 18:06:12
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
wangyymm(feixiaolin代发): 金币+10 2014-11-24 07:37:22
柿子要捡软的捏， 我来试试第三题。设|G|=n.

由于 固定g, 由(1),(2)有 f(g,*): G--> C*,  f(*,g): G-->C* 满足群同态，所以是G的指标。

由(3) f(g,g)=1 可知


由(4)可知， 每一个行指标f(g,*)都不一样. 那么由于 f(g,h)=f(h^{-1},g)
知道 若f(h,g)=1对任意h成立， 那么 g=1_G. 即每一个列指标f(*,g)也不一样。

从而f(*,*) 构成G的完备的指标表， 记为A。由于指标是相互正交的，从而是n x n酉矩阵.

可是你这个酉矩阵非常特殊， f(g,h)=f(h^{-1},g)=[f(h,g)的共轭] 说明这个矩阵还是Hermitian, 即三位一体。顺便说一下，对角线上全是

现在可以看出你的结果就是显然的，因为B的特征值只有正负1。设有k个1，(n-k)个-1， 从而, 所以 n=(2k-n)^2是完全平方。 即存在p, 使得
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We_must_know. We_will_know.
6楼2014-11-23 09:59:45
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普通回帖

sskkyy

银虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
根据有限生产交换群的结构定理知道G为(Z/p)^n, n维线性空间. 阶数为 p^5的子群对应着5维线性子空间。那么问题就转换为Z/p上的n维线性空间的5维子空间有多少个。
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2楼2014-11-21 19:17:00
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sskkyy

银虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
wangyymm(feixiaolin代发): 金币+10 2014-11-24 07:38:11
引用回帖:
2楼: Originally posted by sskkyy at 2014-11-21 19:17:00
根据有限生产交换群的结构定理知道G为(Z/p)^n, n维线性空间. 阶数为 p^5的子群对应着5维线性子空间。那么问题就转换为Z/p上的n维线性空间的5维子空间有多少个。

忘了标记了，这个是对1）的回答。Z/p上的n维线性空间的5维子空间的个数可以如下计算。先计算出（Z/p）^n中线性无关向量组(v1,v2,v3,v4,v5)（ordered）的个数为(p^n-1)(p^n-p)(p^n-p^2)...(p^n-p^4).
两个不同的线性无关向量组表示同一个线性子空间，当且仅当存在一个5阶可逆矩阵把一组向量变换为另外一组向量。所以最终的结果应该是(p^n-1)(p^n-p)(p^n-p^2)...(p^n-p^4)除以GL(5,Z/p)的阶数，也就是是(p^n-1)(p^n-p)(p^n-p^2)...(p^n-p^4)/（p^5-1）(p^5-p)...(p^5-p^4).
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3楼2014-11-21 19:28:56
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wangyymm

金虫 (著名写手)
引用回帖:
3楼: Originally posted by sskkyy at 2014-11-21 19:28:56
忘了标记了，这个是对1）的回答。Z/p上的n维线性空间的5维子空间的个数可以如下计算。先计算出（Z/p）^n中线性无关向量组(v1,v2,v3,v4,v5)（ordered）的个数为(p^n-1)(p^n-p)(p^n-p^2)...(p^n-p^4).
两个不同的线 ...

大虾,好像有个条件"任意元素x有x^p=1"没有使用吧?!
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4楼2014-11-22 07:34:13
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wangyymm

金虫 (著名写手)
引用回帖:
6楼: Originally posted by hank612 at 2014-11-23 09:59:45
柿子要捡软的捏， 我来试试第三题。设|G|=n.

由于 固定g, 由(1),(2)有 f(g,*): G--> C*,  f(*,g): G-->C* 满足群同态，所以是G的指标。

由(3) f(g,g)=1 可知
f(g,h)=f((gh^{-1})h,h)=f(gh^{-1},(gh^{ ...

7楼2014-11-23 20:59:28
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wangyymm

金虫 (著名写手)
引用回帖:
5楼: Originally posted by sskkyy at 2014-11-22 18:06:12
第一步就用了啊，有限生成交换群结构定理得出G=(Z/p)^n.
...

8楼2014-11-23 20:59:40
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sskkyy

银虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

第二题貌似陈述的全面，A，B为谁的扩张。感觉是Atiyah MacDonld交换代数书上一个定理。环扩张那一块。

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
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9楼2014-11-23 21:03:14
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wangyymm

金虫 (著名写手)
引用回帖:
9楼: Originally posted by sskkyy at 2014-11-23 21:03:14
第二题貌似陈述的全面，A，B为谁的扩张。感觉是Atiyah MacDonld交换代数书上一个定理。环扩张那一块。

应该是某个环的扩张.
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10楼2014-11-24 15:02:28
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