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代数问题
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各位大虾,请教几个代数问题: 1.设G是一个阶数为素数p^n的交换群, n是一个大于5的正整数,且对G中的任意元素x有x^p=1,求G的阶数为 p^5的子群个数. 2. 已知A与B都是环的扩张且A是B的子集.如果这两个环都可交换且有相同的单位元1.假设B是有限生成A-模,证明对B中的任何b,都存在一个以A中元素为系数的首一多项式f使得f(b)=0. 3.设G一个有限乘法交换群,如果存在一个映射 f使得 f从G乘G到C* (C*表示所有非零复数构成的乘法群)满足下列条件： （1）对G中的任意元素g,g_1,g_2, 都有f(g, g_1g_2)=f(g, g_1)f(g, g_1); （2）对G中的任意元素g,g_1,g_2, 都有f(g_1g_2, g)=f(g_1, g)f(g_1, g); （3）对G中的任意元素g, 都有f(g, g)=1; （4）对G中的元素g, 如果对G中的任意 h， 都有f(g, h)=1, 则g=1_G (1_G是G中的单位元). 证明 G的阶是一个平方数。 谢谢！！！ |
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hank612
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wangyymm(feixiaolin代发): 金币+10 2014-11-24 07:37:22
wangyymm(feixiaolin代发): 金币+10 2014-11-24 07:37:22
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柿子要捡软的捏， 我来试试第三题。设|G|=n. 由于 固定g, 由(1),(2)有 f(g,*): G--> C*, f(*,g): G-->C* 满足群同态，所以是G的指标。 由(3) f(g,g)=1 可知 由(4)可知， 每一个行指标f(g,*)都不一样. 那么由于 f(g,h)=f(h^{-1},g) 知道 若f(h,g)=1对任意h成立， 那么 g=1_G. 即每一个列指标f(*,g)也不一样。 从而f(*,*) 构成G的完备的指标表， 记为A。由于指标是相互正交的，从而 可是你这个酉矩阵非常特殊， f(g,h)=f(h^{-1},g)=[f(h,g)的共轭] 说明这个矩阵还是Hermitian, 即 现在可以看出你的结果就是显然的，因为B的特征值只有正负1。设有k个1，(n-k)个-1， 从而 |
6楼2014-11-23 09:59:45
sskkyy
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2楼2014-11-21 19:17:00
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【答案】应助回帖
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wangyymm(feixiaolin代发): 金币+10 2014-11-24 07:38:11
wangyymm(feixiaolin代发): 金币+10 2014-11-24 07:38:11
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忘了标记了，这个是对1）的回答。Z/p上的n维线性空间的5维子空间的个数可以如下计算。先计算出（Z/p）^n中线性无关向量组(v1,v2,v3,v4,v5)（ordered）的个数为(p^n-1)(p^n-p)(p^n-p^2)...(p^n-p^4). 两个不同的线性无关向量组表示同一个线性子空间，当且仅当存在一个5阶可逆矩阵把一组向量变换为另外一组向量。所以最终的结果应该是(p^n-1)(p^n-p)(p^n-p^2)...(p^n-p^4)除以GL(5,Z/p)的阶数，也就是是(p^n-1)(p^n-p)(p^n-p^2)...(p^n-p^4)/（p^5-1）(p^5-p)...(p^5-p^4). |
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