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代数问题
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各位大虾,请教几个代数问题: 1.设G是一个阶数为素数p^n的交换群, n是一个大于5的正整数,且对G中的任意元素x有x^p=1,求G的阶数为 p^5的子群个数. 2. 已知A与B都是环的扩张且A是B的子集.如果这两个环都可交换且有相同的单位元1.假设B是有限生成A-模,证明对B中的任何b,都存在一个以A中元素为系数的首一多项式f使得f(b)=0. 3.设G一个有限乘法交换群,如果存在一个映射 f使得 f从G乘G到C* (C*表示所有非零复数构成的乘法群)满足下列条件： （1）对G中的任意元素g,g_1,g_2, 都有f(g, g_1g_2)=f(g, g_1)f(g, g_1); （2）对G中的任意元素g,g_1,g_2, 都有f(g_1g_2, g)=f(g_1, g)f(g_1, g); （3）对G中的任意元素g, 都有f(g, g)=1; （4）对G中的元素g, 如果对G中的任意 h， 都有f(g, h)=1, 则g=1_G (1_G是G中的单位元). 证明 G的阶是一个平方数。 谢谢！！！ |
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5楼2014-11-22 18:06:12
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【答案】应助回帖
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wangyymm(feixiaolin代发): 金币+10 2014-11-24 07:38:11
wangyymm(feixiaolin代发): 金币+10 2014-11-24 07:38:11
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忘了标记了，这个是对1）的回答。Z/p上的n维线性空间的5维子空间的个数可以如下计算。先计算出（Z/p）^n中线性无关向量组(v1,v2,v3,v4,v5)（ordered）的个数为(p^n-1)(p^n-p)(p^n-p^2)...(p^n-p^4). 两个不同的线性无关向量组表示同一个线性子空间，当且仅当存在一个5阶可逆矩阵把一组向量变换为另外一组向量。所以最终的结果应该是(p^n-1)(p^n-p)(p^n-p^2)...(p^n-p^4)除以GL(5,Z/p)的阶数，也就是是(p^n-1)(p^n-p)(p^n-p^2)...(p^n-p^4)/（p^5-1）(p^5-p)...(p^5-p^4). |
3楼2014-11-21 19:28:56
4楼2014-11-22 07:34:13
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