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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 求教一个二阶微分表达式的问题
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肥嘟嘟的螃蟹

金虫 (小有名气)

[求助] 求教一个二阶微分表达式的问题已有3人参与

最近刚学微积分，关于二阶微分我有这样一个问题：
对于二阶微分的表述形式：d^2y/dx^2
如果把它看作微商的话，那是不是能写成d(dy)/dx^2呢？
如果用定义理解，那应该写成d(dy/dx)/dx。
那这两个式子应该是等价的，可是怎么从一个推到另一个呢？
请讲解，不胜感激！
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早起的虫子被鸟吃
1楼2014-11-15 08:27:06
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苏沉e

木虫 (初入文坛)

【答案】应助回帖

引用回帖:
7楼: Originally posted by pippi6 at 2014-11-17 01:09:13
和你商榷高阶微分的说法。虽说在简单的单变量、非复合函数情况是此说法是说得通的，但是对于多变量，复合函数此推导就会有问题。比如，f(x,y), df=f_xdx+f_ydy, d^2f=f_xxdxdx+2f_xf_ydy+f_yydy dy,但是， d^2f/dx ...

微分学的本质，函数微分是关于变量增量的线性（齐次）函数，与函数增量相差较变元高阶的无穷小。菲赫金哥尔茨的确随后在第120目指出高阶微分形式不变性的破坏，但同时也指出是由于误把原自变量代换新自变量而丢失的（因为当x为变元时其二阶微分d^2x为零，但叠置时却并非如此），如果把函数叠置过程中误丢的部分加上（比如参照莱布尼茨公式按微分的二项式来表示），形式就完全一致了。关于多元函数同是如此。至于d^2f/dx^2中的d^2f仍是表示函数的微元增量，你会认为没意义是因为你没能正确写出函数的微分表达式，实际上也确实不好写，因为如果要用解析式表示出来就必然会导致变量缺失，但这并不妨碍它作为函数二阶微分的身份（在微分几何学中尤其明显）。
尽管作者也提到用微分的二项式来表示时对于三阶以后各阶微分（在转变成新变量时）附加的项数还要增加（显得得不尝失），但并不如你所说的毫无意义。而且实际上确有用处，在后面第五章引入多元函数，以及在建立高维度空间进行分析学运算时（至少在帮助理解上）是颇有益处的，在热力学和量子力学中（尤其在对薛定鄂方程的解释和利用上），显然比单纯的微�?更具直观性（当然实际运算上要非常谨慎，当然我们实际上也很少这么做，仅作帮助理解为多），费恩曼对此也颇为推崇（体现在他量子电动力学的构建上）。
所以，不要认为对一个概念的理解与尝试是没有意义的，至少（在某种程度上）对掌握微积分的本质和思想方法是很有帮助的。不是吗？

[ 发自小木虫客户端 ]
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11楼2014-11-19 09:53:43
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pippi6

铁杆木虫 (著名写手)

工程和科学数值计算咨询

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
首先， d^2y/dx^2 是二阶导数。这只是一个符号。d^2y 本什身没什么意义。更不能理解为 d^2y除以dx^2 。
d(dy/dx)/dx 是有意义的，但这就是 d^2y/dx^2的定义。最好不要扯什么二阶微分。
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2楼2014-11-15 08:57:07
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肥嘟嘟的螃蟹

金虫 (小有名气)
引用回帖:
2楼: Originally posted by pippi6 at 2014-11-15 08:57:07
首先， d^2y/dx^2 是二阶导数。这只是一个符号。d^2y 本什身没什么意义。更不能理解为 d^2y除以dx^2 。
d(dy/dx)/dx 是有意义的，但这就是 d^2y/dx^2的定义。最好不要扯什么二阶微分。

那可以再点不清楚的问题吗？设x为复合函数y=f(x)与x=ψ(t)的中间变量，dy=f'(x)dx=f'(ψ(t)) (ψ'(t))^2 dt 这么写对吗？如果不对，表示成t的微分应该怎么写呢？
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早起的虫子被鸟吃
3楼2014-11-15 09:20:20
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pippi6

铁杆木虫 (著名写手)

工程和科学数值计算咨询
引用回帖:
3楼: Originally posted by 肥嘟嘟的螃蟹 at 2014-11-15 09:20:20
那可以再点不清楚的问题吗？设x为复合函数y=f(x)与x=ψ(t)的中间变量，dy=f'(x)dx=f'(ψ(t)) (ψ'(t))^2 dt 这么写对吗？如果不对，表示成t的微分应该怎么写呢？...

dy=f'(x)dx= f'(x) ψ' (t)dt
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4楼2014-11-15 09:24:29
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