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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 求四面体体积公式和点的法向量求解。
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luzongxing

银虫 (小有名气)

[求助] 求四面体体积公式和点的法向量求解。 已有2人参与

已知四面体四个点的空间三维坐标，怎么求四面体的体积？
求四面体体积公式和点的法向量求解。
这样求解过程对吗？

求四面体体积公式和点的法向量求解。-1
空间中九宫格的点与原点构成几何体，九宫格的中心点是P0，
几何的体积是可以算出来的：
比如为V0,
然后让点P0的x1+dx （dx=0.00001很小很小）
再重新算其体积比如为V1,
那么法向量在x的分量为
nx = (V1-V0)/dx
同样计算在y,z的分量。
最后归一一下就OK了。

（其数学原理为 dV =\frac 1 3 \mathbf r \mathbf n dS 可以证明体积元的变分为 \frac{\delta dV}{\delta mathbf r}=\mathbf n dS）
这个数学原理公式怎么写？
这样是不是可以求这个P0这个点处的法向量？

谢谢
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1楼 2014-11-06 15:41:32
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pippi6

铁杆木虫 (著名写手)

工程和科学数值计算咨询

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
你那个公式是怎么得出的？不过使用各表面法向可以得出体积。
利用恒等式 ， 然后做体积分，使用 Stocks 定理我们有

这里 是第i面的法向， 是第i面的中心点位置向量， 是第i面的面积。
此方法很实用。空间表面面积可利用顶点坐标得出。
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2楼2014-11-06 17:07:31
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终之太刀—晓

铁杆木虫 (著名写手)

数学爱好者

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
对于楼主那个四面体的求解公式，我有疑惑：撇开1/6,这个公式是求由顶点引出的三条棱构造的平行六面体的体积（解析几何的知识）,这样看，楼主觉得这个四面体的体积应该跟这个平行六面体的体积之比是1/6啦？
     我认为这个有条件，就是三条棱互相垂直，也就是直角棱锥才能符合。
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PreferenceforMathematics
3楼2014-11-06 20:29:33
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终之太刀—晓

铁杆木虫 (著名写手)

数学爱好者

【答案】应助回帖

见图示：
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4楼2014-11-06 20:59:04
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终之太刀—晓

铁杆木虫 (著名写手)

数学爱好者

【答案】应助回帖

关于体积的公式，这里的答案供楼主参考：
求四面体体积公式和点的法向量求解。-2
1.png


求四面体体积公式和点的法向量求解。-3
2.png
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PreferenceforMathematics
5楼2014-11-08 08:22:19
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luzongxing

银虫 (小有名气)

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6楼2014-11-13 22:31:12
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luzongxing

银虫 (小有名气)
引用回帖:
5楼: Originally posted by 终之太刀—晓 at 2014-11-08 08:22:19
关于体积的公式，这里的答案供楼主参考：

1.png

2.png
...

你这顶点在零点，
要是顶点是任意点（x4，y4，z4）的话，我那个行列式求体积公式是否正确？
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7楼2014-11-14 13:00:35
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终之太刀—晓

铁杆木虫 (著名写手)

数学爱好者
引用回帖:
7楼: Originally posted by luzongxing at 2014-11-14 13:00:35
你这顶点在零点，
要是顶点是任意点（x4，y4，z4）的话，我那个行列式求体积公式是否正确？...

如我5楼的图示，做个变数代换，比如将x_1换为x_1-x_4;y_2换为y_2-y_4等，这样就可以直接套用那个公式。
就如我5楼所言，如果三条测棱不相互垂直，公式就有误了。
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PreferenceforMathematics
8楼2014-11-14 13:52:07
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luzongxing

银虫 (小有名气)
引用回帖:
8楼: Originally posted by 终之太刀—晓 at 2014-11-14 13:52:07
如我5楼的图示，做个变数代换，比如将x_1换为x_1-x_4;y_2换为y_2-y_4等，这样就可以直接套用那个公式。
就如我5楼所言，如果三条测棱不相互垂直，公式就有误了。...

我看查到的资料都是任意四面体都满足那个体积公式，你也可以代入简单的四面体求解看看。
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9楼2014-11-15 20:26:18
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终之太刀—晓

铁杆木虫 (著名写手)

数学爱好者
引用回帖:
9楼: Originally posted by luzongxing at 2014-11-15 20:26:18
我看查到的资料都是任意四面体都满足那个体积公式，你也可以代入简单的四面体求解看看。...

可以给我看看你查到的资料链接么，楼主？
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PreferenceforMathematics
10楼2014-11-15 20:48:48
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