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luzongxing

银虫 (小有名气)

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[求助] 求四面体体积公式和点的法向量求解。已有2人参与

已知四面体四个点的空间三维坐标，怎么求四面体的体积？

这样求解过程对吗？

空间中九宫格的点与原点构成几何体，九宫格的中心点是P0，
几何的体积是可以算出来的：
比如为V0,
然后让点P0的x1+dx （dx=0.00001很小很小）
再重新算其体积比如为V1,
那么法向量在x的分量为
nx = (V1-V0)/dx
同样计算在y,z的分量。
最后归一一下就OK了。

（其数学原理为 dV =\frac 1 3 \mathbf r \mathbf n dS 可以证明体积元的变分为 \frac{\delta dV}{\delta mathbf r}=\mathbf n dS）
这个数学原理公式怎么写？
这样是不是可以求这个P0这个点处的法向量？

谢谢

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1楼 2014-11-06 15:41:32

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luzongxing

银虫 (小有名气)

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引用回帖:

8楼: Originally posted by 终之太刀—晓 at 2014-11-14 13:52:07
如我5楼的图示，做个变数代换，比如将x_1换为x_1-x_4;y_2换为y_2-y_4等，这样就可以直接套用那个公式。
就如我5楼所言，如果三条测棱不相互垂直，公式就有误了。...

我看查到的资料都是任意四面体都满足那个体积公式，你也可以代入简单的四面体求解看看。

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9楼2014-11-15 20:26:18

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pippi6

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【答案】应助回帖

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你那个公式是怎么得出的？不过使用各表面法向可以得出体积。
利用恒等式 $\frac{1}{3}\nabla \cdot {\bf x} =1$ ，然后做体积分，使用 Stocks 定理我们有
$\int \; dV = \int \frac{1}{3}\nabla \cdot {\bf x} \; dV<br /> =\frac{1}{3} \oint {\bf x} \cdot d {\bf S} <br /> = \sum_{i=1}^{N} {\bf x}_i \cdot {\bf n }_i \Delta S_i$
这里 ${\bf n }_i$ 是第i面的法向， ${\bf x}_i$ 是第i面的中心点位置向量， $\Delta S_i$ 是第i面的面积。
此方法很实用。空间表面面积可利用顶点坐标得出。

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2楼2014-11-06 17:07:31

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