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luzongxing

银虫 (小有名气)

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[求助] 求四面体体积公式和点的法向量求解。已有2人参与

已知四面体四个点的空间三维坐标，怎么求四面体的体积？

这样求解过程对吗？

空间中九宫格的点与原点构成几何体，九宫格的中心点是P0，
几何的体积是可以算出来的：
比如为V0,
然后让点P0的x1+dx （dx=0.00001很小很小）
再重新算其体积比如为V1,
那么法向量在x的分量为
nx = (V1-V0)/dx
同样计算在y,z的分量。
最后归一一下就OK了。

（其数学原理为 dV =\frac 1 3 \mathbf r \mathbf n dS 可以证明体积元的变分为 \frac{\delta dV}{\delta mathbf r}=\mathbf n dS）
这个数学原理公式怎么写？
这样是不是可以求这个P0这个点处的法向量？

谢谢

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1楼 2014-11-06 15:41:32

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luzongxing

银虫 (小有名气)

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$dV =\frac 1 3 \mathbf r \mathbf n dS[\latex] [latex] dV =\frac 1 3 \mathbf r \mathbf n dS$
$\frac{\delta dV}{\delta mathbf r}=\mathbf n dS[\latex] [latex] \frac{\delta dV}{\delta mathbf r}=\mathbf n dS$

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6楼2014-11-13 22:31:12

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pippi6

铁杆木虫 (著名写手)

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【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1

你那个公式是怎么得出的？不过使用各表面法向可以得出体积。
利用恒等式 $\frac{1}{3}\nabla \cdot {\bf x} =1$ ，然后做体积分，使用 Stocks 定理我们有
$\int \; dV = \int \frac{1}{3}\nabla \cdot {\bf x} \; dV =\frac{1}{3} \oint {\bf x} \cdot d {\bf S} = \sum_{i=1}^{N} {\bf x}_i \cdot {\bf n }_i \Delta S_i$
这里 ${\bf n }_i$ 是第i面的法向， ${\bf x}_i$ 是第i面的中心点位置向量， $\Delta S_i$ 是第i面的面积。
此方法很实用。空间表面面积可利用顶点坐标得出。

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2楼2014-11-06 17:07:31

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