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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 无穷个无穷小乘积为什么不是无穷小？
汕头大学海洋科学接受调剂
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caoyanyi

银虫 (小有名气)

[求助] 无穷个无穷小乘积为什么不是无穷小？ 已有8人参与

今日于看到无穷个无穷小乘积不是无穷小，求一通俗易懂实例。

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
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1楼 2014-10-31 09:44:38
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柳清

木虫 (小有名气)
引用回帖:
23楼: Originally posted by hljxufeng at 2014-10-31 22:06:15
我也是这么理解的。不过，是无穷多个无穷小，会不会出现一点变化？
...

15楼给了个反例！是对的！
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Blow-up
40楼2014-11-02 00:08:52
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查看全部 45 个回答

liuqh

铁杆木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
caoyanyi: 金币+3, ★★★很有帮助, 通俗易懂，赞一个 2014-10-31 10:55:38
a1: n^(-i)       i=1-无穷
a2: n^(-i+1)   i=1-无穷
a3: n^(-i+2)   i=1-无穷
....
an: n^(-i+n-1) i=1-无穷
....
赞一下(1人) 回复此楼
2楼2014-10-31 09:59:31
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hudi1319

金虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
caoyanyi: 金币+3, ★★★很有帮助, 辛苦了，非常感谢 2014-10-31 11:01:34
手机上发的，不知道看起来怎么样。
解答如下:
举个无穷多个无穷小的乘积是无穷大的例子：
无穷阵列：a=(0.5)^(n-i)
其中n-->无穷大
可以看这一个阵列的任意一个元素都是无穷小
（可以用定义证明，不管i有多大，a都是无穷小）
我们再来看一看这个阵列的乘积（无限多个无穷小的乘积）
可以看到，无论n多大，这个乘积都是无穷大。
（前n-1个乘数小于1，第n个乘数等于1，但是第n个以后还有无穷多个乘数大于1，故这个乘积是无穷大。即：不管n多大，这个乘积都是无穷大）


另外的，
定义函数列如下:

1.fn(x)的定义域为:[1,+∞).



2.f1(x)=1,        x∈[1,2)

  f1(x)=1/x,      x∈[2,+∞)



3.n>1,

  fn(x)=1,        x∈[1,n)

  fn(x)=x^(n-1),  x∈[n,n+1)

  fn(x)=1/x,      x∈[n+1,+∞)



4.设F(x)=∏{1≤n}fn(x),

ⅰ.x∈[1,2)

==>fn(x)=1

==>F(x)=∏{1≤n}fn(x)=1



ⅱ.x∈[k,k+1),k>1

fn(x)=1/x,n≤k-1

fk(x)=x^(k-1),

fn(x)=1,k+1≤n

F(x)=∏{1≤n}fn(x)=

=f1(x)*..*f(k-1)(x)*fk(x)*1*1...=

=(1/x)*..(1/x)*x^(k-1)*1..*1...=

=1

所以F(x)≡1,因此当x→+∞时,F(x)不是无穷小.

但对于每个fn(x),当x→+∞时,fn(x)是无穷小.

(显然Lim{x→+∞}fn(x)=0)



所以无穷个无穷小的乘积不一定是无穷小.

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
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Silence.
3楼2014-10-31 10:00:59
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柳清

木虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
无穷个无穷小的乘积肯定是无穷小！可以两边夹定理证明的！
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Blow-up
4楼2014-10-31 10:58:20
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