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jabile

木虫 (正式写手)

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【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★
zzrqyr: 金币+4, ★★★很有帮助, 非常感谢！ 2014-10-21 11:32:52

引用回帖:

7楼: Originally posted by zzrqyr at 2014-10-20 11:56:02
非常不好意思，你现在帮忙看看。

2014-10-20_115430.png
...

4)~~$(ln t) ^[sin (ln (ln tx))-sin(ln(ln t))]
\leq (ln t)^[{lnx\over ln t}]$~趋向于1, 极限为 1

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11楼2014-10-20 12:52:50

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Edstrayer

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【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1

$\lim\limits_{t\to+\infty}\frac{(\ln tx)^{\sin(\ln(\ln tx))}{(\ln t)^{\sin(\ln(\ln t))}\stackrel{y=\ln t}{=}\lim\limits_{y\to+\infty}\frac{(y+\ln x)^{\sin(\ln(y+\ln x))}{y^{\sin(\ln y)}$

$\lim\limits_{t\to+\infty}\frac{(\ln tx)^{\sin(\ln(\ln tx))}{(\ln t)^{\sin(\ln(\ln t))}=\lim\limits_{y\to+\infty}\left[(1+\frac{\ln x}{y})^{\frac{y}{\ln x}\right]^{\frac{\ln x\sin(\ln(y+\ln x))}{y}\times e^{2\cos\frac{\ln(y+\ln x)+\ln y}{2}\sin\frac{\ln(y+\ln x)-\ln y}{2}\times \ln y$

注意到：

$\lim\limits_{y\to+\infty}\left[(1+\frac{\ln x}{y})^{\frac{y}{\ln x}\right]^{\frac{\ln x\sin(\ln(y+\ln x))}{y}=e^0=1$

$\lim\limits_{y\to+\infty}\sin\frac{\ln(y+\ln x)-\ln y}{2}\times \ln y=\lim\limits_{y\to+\infty}\frac{1}{2}\frac{\ln x}{y}\ln y=0$

所以就有：

$\lim\limits_{t\to+\infty}\frac{(\ln tx)^{\sin(\ln(\ln tx))}{(\ln t)^{\sin(\ln(\ln t))}=e^0\times e^0=1\times 1=1$

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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

12楼2014-10-21 01:00:16

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Edstrayer

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【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★
zzrqyr: 金币+6, ★★★★★最佳答案, 非常感谢！ 2014-10-21 11:33:13

$\lim\limits_{t\to+\infty}\frac{(\ln tx)^{\sin(\ln(\ln tx))}}{(\ln t)^{\sin(\ln(\ln t))}}\stackrel{y=\ln t}{=}\lim\limits_{y\to+\infty}\frac{(y+\ln x)^{\sin(\ln(y+\ln x))}}{y^{\sin(\ln y)}}$

$\lim\limits_{t\to+\infty}\frac{(\ln tx)^{\sin(\ln(\ln tx))}}{(\ln t)^{\sin(\ln(\ln t))}}=\lim\limits_{y\to+\infty}\left(1+\frac{\ln x}{y}\right)^{\sin(\ln(y+\ln x))}\times y^{\sin(\ln(y+\ln x))-\sin(\ln y)}$

$\lim\limits_{y\to+\infty}\left(1+\frac{\ln x}{y}\right)^{\sin(\ln(y+\ln x))}=\lim\limits_{y\to+\infty}\left[(1+\frac{\ln x}{y})^{\frac{\ln x}{y}}^{\frac{\ln x\sin(\ln(y+\ln x))}{y}}=e^0=1$

$\lim\limits_{y\to+\infty}y^{\sin(\ln(y+\ln x))-\sin(\ln y)}=\lim\limits_{y\to+\infty}e^{2\cos\frac{\ln(y+\ln x)+\ln x}{2}\sin\frac{\ln(1+\frac{\ln x}{y})}{2}\ln y}=e^0=1$

所以就有：

$\lim\limits_{t\to+\infty}\frac{(\ln tx)^{\sin(\ln(\ln tx))}}{(\ln t)^{\sin(\ln(\ln t))}}=1\times 1=1$

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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

13楼2014-10-21 01:20:10

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