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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 考博考研 » 多项式有理数域能否可约。。上次打错题目
汕头大学海洋科学接受调剂
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lixuemei201

新虫 (小有名气)

[求助] 多项式有理数域能否可约。。上次打错题目

设p1.p2...,pn为两两不等的素数，证明多项式f（x）=（x-p1）^2*(x-p2)^2...（x-pn）^2+1在有理数域上不可约。。。。。。我自己的那种证明，不严格，没用到了素数这一条件，求一个稍微详细的解答，谢谢

上次题目打错了！！！

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1楼 2014-10-05 11:53:53
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界
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6楼: Originally posted by hank612 at 2014-10-06 05:48:14
楼主， Estrayer的帖子真是葵花宝典，照抄再稍加改动就搞定了。

（1）由Gauss引理， 多项式在UFD 整环上不可约当且仅当在分式域上不可约， 所以用反证法， 设1+\Prod_{i=1}^n (x-p_i)^2=f(x)\cdot g(x), 其中f( ...

正解！
多项式


在有理数域上的不可约性，可以通过待定系数法和艾森斯坦判别法证明。
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
7楼2014-10-06 06:16:35
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
引用回帖:
4楼: Originally posted by lixuemei201 at 2014-10-05 19:15:04
。。。蛋疼，你给出的那题是建立在2013有多个因子还有相邻数的平方的基础上，我这题是+1的，是没办法按你那题方法推出矛盾。哥哥们，求解，各位大神们，求解！
...

楼主， Estrayer的帖子真是葵花宝典，照抄再稍加改动就搞定了。

（1）由Gauss引理， 多项式在UFD 整环上不可约当且仅当在分式域上不可约， 所以用反证法， 设, 其中f(x), g(x)为首一整系数（最关键的一步！！！）多项式。不妨设 deg(f) <= n <= deg(g).

（2）对每一个p_i, 有f(p_i)*g(p_i)=1, 那么必然有f(p_i)=g(p_i)=1 或 -1。
将n个素数分成两拨，不妨设f,g取值等于1的占多数。, 其中c(x), d(x)为某些 首一整系数多项式。

Case 1: k=0.  从多项式度数可以直接看出 f(x)-1=(x-p_1)*(x-p_2)*...*(x-p_n), 从而 g(x)-1=(x-p_1)*(x-p_2)*...*(x-p_n),这和平方和公式明显不符。排除。

Case 2: 2<=k <=m. 由 及 p_i为不同素数得到： 这和相矛盾。排除

Case 3: k=1. 如果 m>=2, 那么 由 得到 s1=3, r1=2, r2=5. 或 s1=5, r1=3, r2=7. 其中 s1=5, r1=3, r2=7与 c(5)(5-3)(5-7)=-2矛盾。
也就是说， Case 3 无法一下排除的只有：

a)k=1=m, n=2. 两个素数或者是2,3， 或者是孪生素数。
b) k=1, m=2, n=3, 三个素数为 2，3，5。
这几个多项式，理论已经无能为力了， 楼主有没有办法一一验证不可约呢？
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We_must_know. We_will_know.
6楼2014-10-06 05:48:14
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
引用回帖:
6楼: Originally posted by hank612 at 2014-10-06 05:48:14
楼主， Estrayer的帖子真是葵花宝典，照抄再稍加改动就搞定了。

（1）由Gauss引理， 多项式在UFD 整环上不可约当且仅当在分式域上不可约， 所以用反证法， 设1+\Prod_{i=1}^n (x-p_i)^2=f(x)\cdot g(x), 其中f( ...

刚刚一想，n=2,  两个素数的情况很好淘汰，原因如下：
让h(x)=(x-p1)(x-p2), 那么 h(x)| ( f(x)-g(x)). 由于f(x)和g(x)不能为一次的， 所以都是二次的， 然后都是首一的，所以 f(x)-g(x)次数小于等于一次， 只能等于0。 这和 h^2+1不是平方和相矛盾。

那楼主只需要证明 [(x-2)(x-3)(x-5)]^2 +1 不可约就够了。
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We_must_know. We_will_know.
8楼2014-10-06 06:19:00
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普通回帖

lixuemei201

新虫 (小有名气)
这个是n个平方式子相乘。。题目没错了。。。素数这条件到底怎么使用，求思路。。。大神赶紧来吧！

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2楼2014-10-05 11:58:48
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界
http://www.math.org.cn/forum.php ... id%3D2%26typeid%3D2
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3楼2014-10-05 17:34:09
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lixuemei201

新虫 (小有名气)
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3楼: Originally posted by Edstrayer at 2014-10-05 17:34:09
http://www.math.org.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=29199&extra=page%3D7%26filter%3Dtypeid%26typeid%3D2%26typeid%3D2

。。。蛋疼，你给出的那题是建立在2013有多个因子还有相邻数的平方的基础上，我这题是+1的，是没办法按你那题方法推出矛盾。哥哥们，求解，各位大神们，求解！

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4楼2014-10-05 19:15:04
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lixuemei201

新虫 (小有名气)
引用回帖:
3楼: Originally posted by Edstrayer at 2014-10-05 17:34:09
http://www.math.org.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=29199&extra=page%3D7%26filter%3Dtypeid%26typeid%3D2%26typeid%3D2

不是2013是2014。。。。兄弟，谢谢你，有空再帮俺想想这题，谢谢

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5楼2014-10-05 19:22:37
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lixuemei201

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6楼: Originally posted by hank612 at 2014-10-06 05:48:14
楼主， Estrayer的帖子真是葵花宝典，照抄再稍加改动就搞定了。

（1）由Gauss引理， 多项式在UFD 整环上不可约当且仅当在分式域上不可约， 所以用反证法， 设1+\Prod_{i=1}^n (x-p_i)^2=f(x)\cdot g(x), 其中f( ...

我的证明是设f（x）=f1（x）+f2（x），令g=f1-f2，有n个跟，从而推到f1=f2，f=f1^2,再系数对比得到a^2=（p1p2...pn）^2+1，从平方差公式得知不可能。。。我的证明很简单，却没有用到素数这关键条件。。。

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9楼2014-10-06 08:43:49
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lixuemei201

新虫 (小有名气)
我的想法错了，g的次数不一定为0，这题解决了。。感谢大家

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10楼2014-10-06 08:48:32
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