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ayismas

木虫 (正式写手)

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[交流] 发现gamma函数一个漂亮的不等式性质已有2人参与

gamma函数有很多漂亮的等式性质，比如gamma(x+1)=x*gamma(x)等等。我在求一个分布的均值方差时发现一个漂亮的关于gamma函数不等式的性质:gamma(x)*gamma(3*x)>(gamma(2*x))^2，对于任意的x>0都成立。不过不知道直接证明不等式成立的方法，求各位虫子提供方法

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特殊函数求解高手请进，这个类似于Gamma函数的定积分能否求解？已经有12人回复

1楼2014-08-29 20:48:50

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Edstrayer

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可以直接证明更强的如下不等式：

$\frac{\Gamma(x)\Gamma(3x)}{\left(\Gamma(2x)\right)^2}>\frac{4}{3}(x>0)$

事实上，由三楼链接中介绍的公式有(其中 $\gamma$ 是Euler常数）：

$\Gamma(x)=\frac{e^{-\gamma x}}{x}\prod_{n=1}^{+\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^{-1}e^{\frac{x}{n}}$

所以就有：

$\Gamma(3x)=\frac{e^{-3\gamma x}}{3x}\prod_{n=1}^{+\infty}\left(1+\frac{3x}{n}\right)^{-1}e^{\frac{3x}{n}}$

$\Gamma(2x)=\frac{e^{-2\gamma x}}{2x}\prod_{n=1}^{+\infty}\left(1+\frac{2x}{n}\right)^{-1}e^{\frac{2x}{n}}$

于是有：

$\frac{\Gamma(x)\Gamma(3x)}{\left(\Gamma(2x)\right)^2}=\frac{\frac{e^{-4\gamma x}{3x^2}\prod_{n=1}^{+\infty}\left((1+\frac{x}{n})(1+\frac{3x}{n})\right)^{-1}e^{\frac{4x}{n}}{\frac{e^{-4\gamma x}{4x^2}\prod_{n=1}^{+\infty}\left((1+\frac{2x}{n})^2\right)^{-1}e^{\frac{4x}{n}}$

即有：

$\frac{\Gamma(x)\Gamma(3x)}{\left(\Gamma(2x)\right)^2}=\frac{4}{3}\prod_{n=1}^{+\infty}\frac{\left(1+\frac{2x}{n}\right)^2}{\left(1+\frac{x}{n}\right)\left(1+\frac{3x}{n}\right)}$

因此就得到：

$\frac{\Gamma(x)\Gamma(3x)}{\left(\Gamma(2x)\right)^2}>\frac{4}{3}(x>0)$

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ayismas

青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

4楼2014-08-30 17:07:31

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Edstrayer

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题目：设

$\Gamma(x)=\int_0^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}dt(x>0)$

试证明：

$\Gamma(x)\times\Gamma(3x)>\left(\Gamma(2x)\right)^2(x>0)$

一点思路：
当x为自然数n的时候很容易证明不等式是成立的，
只要证明 $x\in(0,1)$ 时不等式成立就可以了。

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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

2楼2014-08-30 08:49:59

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hank612

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根据http://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_function
上提到的 Bohr–Mollerup theorem （1922）， "Gamma函数是对数凸"是Gamma函数定义的一部份。

http://milanmerkle.com/documents/radovi/JMAA-203.pdf
上有 log(Gamma(z+1))的二阶导数Taylor展开式，明显是正的。

他山之石，可以攻玉。

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We_must_know. We_will_know.

3楼2014-08-30 12:21:22

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ayismas

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引用回帖:

3楼: Originally posted by hank612 at 2014-08-30 12:21:22
根据http://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_function
上提到的 Bohr–Mollerup theorem （1922）， "Gamma函数是对数凸"是Gamma函数定义的一部份。

http://milanmerkle.com/documents/radovi/JMAA-203. ...

原来如此啊，乱计算恰好碰到这个不等式，还以为遇到什么好东西了

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5楼2014-08-30 20:07:20

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