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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 发现gamma函数一个漂亮的不等式性质
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ayismas

木虫 (正式写手)

[交流] 发现gamma函数一个漂亮的不等式性质 已有2人参与

gamma函数有很多漂亮的等式性质，比如gamma(x+1)=x*gamma(x)等等。我在求一个分布的均值方差时发现一个漂亮的关于gamma函数不等式的性质:gamma(x)*gamma(3*x)>(gamma(2*x))^2，对于任意的x>0都成立。不过不知道直接证明不等式成立的方法，求各位虫子提供方法

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1楼 2014-08-29 20:48:50
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
题目：设


试证明：


一点思路：
当x为自然数n的时候很容易证明不等式是成立的，
只要证明时不等式成立就可以了。
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
2楼2014-08-30 08:49:59
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
根据http://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_function
上提到的 Bohr–Mollerup theorem （1922）， "Gamma函数是对数凸"是Gamma函数定义的一部份。

http://milanmerkle.com/documents/radovi/JMAA-203.pdf
上有 log(Gamma(z+1))的二阶导数Taylor展开式，明显是正的。

他山之石，可以攻玉。
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We_must_know. We_will_know.
3楼2014-08-30 12:21:22
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
可以直接证明更强的如下不等式：


事实上，由三楼链接中介绍的公式有(其中是Euler常数）：


所以就有：



于是有：


即有：


因此就得到：
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ayismas
青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
4楼2014-08-30 17:07:31
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ayismas

木虫 (正式写手)
引用回帖:
3楼: Originally posted by hank612 at 2014-08-30 12:21:22
根据http://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_function
上提到的 Bohr–Mollerup theorem （1922）， "Gamma函数是对数凸"是Gamma函数定义的一部份。

http://milanmerkle.com/documents/radovi/JMAA-203. ...

原来如此啊，乱计算恰好碰到这个不等式，还以为遇到什么好东西了

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5楼2014-08-30 20:07:20
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ayismas

木虫 (正式写手)
送红花一朵
引用回帖:
4楼: Originally posted by Edstrayer at 2014-08-30 17:07:31
可以直接证明更强的如下不等式：
\frac{\Gamma(x)\Gamma(3x)}{\left(\Gamma(2x)\right)^2}>\frac{4}{3}(x>0)
事实上，由三楼链接中介绍的公式有(其中\gamma是Euler常数）：
\Gamma(x)=\frac{e^{-\gamma x} ...

漂亮的不等式

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6楼2014-08-30 20:10:33
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