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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 运筹学与控制论 » 图论方面的一个小问题
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napoleon_999

木虫 (小有名气)

[求助] 图论方面的一个小问题 已有2人参与

有一个问题想了好久都没有证明出来，就是对于一个不含三角形的图G，∑d(i)^2<=mn，其中m是边数，n是顶点数，d(i)
是每个顶点的度数。请各位大神帮忙解决一下，我是新人，金币有点少，若能解决，感激不尽！
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1楼 2014-08-11 11:13:16
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napoleon_999

木虫 (小有名气)
引用回帖:
9楼: Originally posted by Edstrayer at 2014-08-11 17:53:56
命题：设G=(V,E)是不含自环的无重边的简单图，如果G中的边不构成三角形，则
\sum\limits_{v\in V}d^2(v)\leqslant mn
其中d(v)表示图G中顶点v的度数，m=\mid E\mid,n=\mid V\mid.
证明：对G的顶点V使用数学归纳法 ...

你好，你的回复今天早上才看到，可是我觉得还是有点问题，你得到了在图G1中，度数平方和的一个上界，可是在图G中，加入了顶点Vn+1，与这个顶点相连的原来G1中的顶点每一个度数都增加了1，所以上界就不是原来得出来的的了吧。一点小意见。还是非常感谢你！
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12楼2014-08-12 08:57:14
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界
图G是简单图吧？
否则，易举出反例的。
例如：，即G是三个顶点四条边的含圈图（不含成三角形的边），其中


则有：
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
2楼2014-08-11 12:16:04
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napoleon_999

木虫 (小有名气)
引用回帖:
2楼: Originally posted by Edstrayer at 2014-08-11 12:16:04
图G是简单图吧？
否则，易举出反例的。
例如：G=\{v_1,v_2,v_3\},E=\{v_1v_2,v_1v_2,v_1v_3,v_1v_3\}，即G是三个顶点四条边的含圈图（不含成三角形的边），其中
d(v_1)=4,d(v_2)=d(v_3)=2,n=3,m=4
则有：
\sum ...

对，忘说了，是简单图，无圈无重边的。
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3楼2014-08-11 13:14:06
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界
你没有把问题的条件叙述清楚吧？
这个问题中的图G对于含圈的简单图也是成立的。
例如，设，即G是五个顶点的含圈的简单图，则有：


于是就有：
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
4楼2014-08-11 14:27:30
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