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十点钟的咖啡

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[求助] iteration method for density equations_help_me 已有2人参与

hi there; I need some help with the following formulas
In the interaction picture.

$\frac{d}{dt}\rho(t)=\frac{1}{i\hbar}[V(t),\rho(t)]$ (1)

Then

$\rho(t+\Delta t) = \rho(t)+\frac{1}{i\hbar}\int_t^{t+\Delta t} dt' [V(t'),\rho(t')]$ (2)

This equation can be iterated. and it is

$\Delta \rho(t)=\frac{1}{i\hbar}\int_t^{t+\Delta t} dt' [V(t'),\rho(t')]+(\frac{1}{i\hbar})^2 \int_t^{t+\Delta t} dt' \int_t^{t'}dt''[\underbrace{V(t'),[V(t'')}_{Note\;t'\;and\;t''},\rho(t'')]]$ (3)

$\Delta \rho(t) = \rho(t+\Delta t) - \rho(t)$

I can understand the eq.(2), but not the eq. (3).
Is anybody know how to get the equation (3). and why do we want to do such calculation?

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O(∩_∩)O 已经有4人回复
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1楼 2014-06-27 14:01:39

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回帖置顶 ( 共有1个 )

walk1997

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十点钟的咖啡(leongoall代发): 金币+10, 应楼主要求，奖励金币！ 2014-06-28 19:28:18
十点钟的咖啡: 回帖置顶 2014-06-29 13:40:24

把Eq.2中t+\Delta t 换成t', t'标记成t''
这样就得到\rho(t')的积分表达式
把这1表达式代入Eq.2中的右边就得到3项
第一项移左边第三项交换下积分和[]次序就得到eq.3

5楼2014-06-27 20:58:31

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mshwangg

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【答案】应助回帖

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感谢参与，应助指数 +1
十点钟的咖啡: 金币+1 2014-06-27 14:50:51

What your aim is to solve equation 1.
However, the statement in eq.2 and eq3 is only the method using Euler's formula. The precision of this method is the order of h^3 (h is the step).
In many cases, the h^3 precision is not sufficient for meeting your expectation.
In my opinion, it's better to use the Runge-Kutta method or use some software such as Matlab or Mathematica

2楼2014-06-27 14:27:15

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十点钟的咖啡

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2楼: Originally posted by mshwangg at 2014-06-27 14:27:15
What your aim is to solve equation 1.
However, the statement in eq.2 and eq3 is only the method using Euler's formula. The precision of this method is the order of h^3 (h is the step).
In many case ...

My equations are about the numerical solution. I just do not get the analytic solution (3). How can we derive the eq.(3) for (1) and (2)?

3楼2014-06-27 14:48:47

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2楼: Originally posted by mshwangg at 2014-06-27 14:27:15
What your aim is to solve equation 1.
However, the statement in eq.2 and eq3 is only the method using Euler's formula. The precision of this method is the order of h^3 (h is the step).
In many case ...

This is not the Euler's method. There is always a fact of (1/2!) when we use the second order Euler' method.

and when I try to get the second derivative of the density operator. I get:

$\frac{d^2}{dt^2}\rho(t)=(\frac{1}{i\hbar})^2([\frac{dV(t)}{dt}, \rho(t)]+[V(t),\frac{d \rho(t)}{dt}])$

4楼2014-06-27 15:00:09

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这样做的目的上面已经解释了
在有限的\Delta 时更精确....

6楼2014-06-27 21:01:35

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mshwangg

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【答案】应助回帖

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3楼: Originally posted by 十点钟的咖啡 at 2014-06-27 14:48:47
My equations are about the numerical solution. I just do not get the analytic solution (3). How can we derive the eq.(3) for (1) and (2)?...

推导过程walk已经回答了。
然而，实在不懂你为何执着于这个方法。这个方法（Eq3）比欧拉方法（Eq2）多了一项。同意walk的说法，有限的Delta时，提高精度。也就是变种的欧拉方法。精度大约提高一到两个数量级。
既然要做数值，看样子要自己写code了，如果真按照Eq3写code，积分是一个大麻烦，计算慢不说，精度也不高。
估计4阶RK在速度和精度上都完爆这个方法。
一家之言

7楼2014-06-27 22:12:41

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7楼: Originally posted by mshwangg at 2014-06-27 22:12:41
推导过程walk已经回答了。
然而，实在不懂你为何执着于这个方法。这个方法（Eq3）比欧拉方法（Eq2）多了一项。同意walk的说法，有限的Delta时，提高精度。也就是变种的欧拉方法。精度大约提高一到两个数量级。
既 ...

数值计算上
积分方法我想在多自变量时候可能会更有效率些
现在eq.2,3只有1个自变量t
如果是多自变量偏微分的话不知道会是什么情况
可能硬解eq.1的效率不如2和3
尤其是偏微分方程中带本征谱的情况
--- 个人猜测没实践过

8楼2014-06-27 22:24:54

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8楼: Originally posted by walk1997 at 2014-06-27 22:24:54
数值计算上
积分方法我想在多自变量时候可能会更有效率些
现在eq.2,3只有1个自变量t
如果是多自变量偏微分的话不知道会是什么情况
可能硬解eq.1的效率不如2和3
尤其是偏微分方程中带本征谱的情况
--- 个人 ...

自变量只有一个t没错。
如果没料错的话，\rho是density operator。大约会有数个、数十个，或者数百个
确定这样的方程，积分更好吗？我觉得积分恐怖啊

9楼2014-06-28 00:29:21

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引用回帖:

9楼: Originally posted by mshwangg at 2014-06-28 00:29:21
自变量只有一个t没错。
如果没料错的话，\rho是density operator。大约会有数个、数十个，或者数百个
确定这样的方程，积分更好吗？我觉得积分恐怖啊...

不确定因为我也没实践过
你可以动手试试

（1，2维的解起来应该效率还好）
我猜测：
后者也选用合适的基展开的话  使积分能解析解出来
这样  就只需要做矩阵对角化之类的工作了

另外我感觉任何的微分都可以化成积分形式
（绝大部分吧或者化为泛函的极值问题）
但积分方程不一定能化为微分方程  这样普遍些 -- 个人感觉可能不准确

10楼2014-06-28 05:27:17

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