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十点钟的咖啡

金虫 (正式写手)

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[求助] iteration method for density equations_help_me 已有2人参与

hi there; I need some help with the following formulas
In the interaction picture.

$\frac{d}{dt}\rho(t)=\frac{1}{i\hbar}[V(t),\rho(t)]$ (1)

Then

$\rho(t+\Delta t) = \rho(t)+\frac{1}{i\hbar}\int_t^{t+\Delta t} dt' [V(t'),\rho(t')]$ (2)

This equation can be iterated. and it is

$\Delta \rho(t)=\frac{1}{i\hbar}\int_t^{t+\Delta t} dt' [V(t'),\rho(t')]+(\frac{1}{i\hbar})^2 \int_t^{t+\Delta t} dt' \int_t^{t'}dt''[\underbrace{V(t'),[V(t'')}_{Note\;t'\;and\;t''},\rho(t'')]]$ (3)

$\Delta \rho(t) = \rho(t+\Delta t) - \rho(t)$

I can understand the eq.(2), but not the eq. (3).
Is anybody know how to get the equation (3). and why do we want to do such calculation?

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1楼 2014-06-27 14:01:39

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mshwangg

至尊木虫 (正式写手)

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【答案】应助回帖

引用回帖:

3楼: Originally posted by 十点钟的咖啡 at 2014-06-27 14:48:47
My equations are about the numerical solution. I just do not get the analytic solution (3). How can we derive the eq.(3) for (1) and (2)?...

推导过程walk已经回答了。
然而，实在不懂你为何执着于这个方法。这个方法（Eq3）比欧拉方法（Eq2）多了一项。同意walk的说法，有限的Delta时，提高精度。也就是变种的欧拉方法。精度大约提高一到两个数量级。
既然要做数值，看样子要自己写code了，如果真按照Eq3写code，积分是一个大麻烦，计算慢不说，精度也不高。
估计4阶RK在速度和精度上都完爆这个方法。
一家之言

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7楼2014-06-27 22:12:41

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mshwangg

至尊木虫 (正式写手)

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【答案】应助回帖

★
感谢参与，应助指数 +1
十点钟的咖啡: 金币+1 2014-06-27 14:50:51

What your aim is to solve equation 1.
However, the statement in eq.2 and eq3 is only the method using Euler's formula. The precision of this method is the order of h^3 (h is the step).
In many cases, the h^3 precision is not sufficient for meeting your expectation.
In my opinion, it's better to use the Runge-Kutta method or use some software such as Matlab or Mathematica

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2楼2014-06-27 14:27:15

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十点钟的咖啡

金虫 (正式写手)

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引用回帖:

2楼: Originally posted by mshwangg at 2014-06-27 14:27:15
What your aim is to solve equation 1.
However, the statement in eq.2 and eq3 is only the method using Euler's formula. The precision of this method is the order of h^3 (h is the step).
In many case ...

My equations are about the numerical solution. I just do not get the analytic solution (3). How can we derive the eq.(3) for (1) and (2)?

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3楼2014-06-27 14:48:47

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引用回帖:

This is not the Euler's method. There is always a fact of (1/2!) when we use the second order Euler' method.

and when I try to get the second derivative of the density operator. I get:

$\frac{d^2}{dt^2}\rho(t)=(\frac{1}{i\hbar})^2([\frac{dV(t)}{dt}, \rho(t)]+[V(t),\frac{d \rho(t)}{dt}])$

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4楼2014-06-27 15:00:09

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