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筝筝日上

银虫 (著名写手)

[交流] 高代习题 已有3人参与

A是nxn对称矩阵，存在bate与长度为1的向量v，s.t.对于任意e〉0，|Av-batev|<e, 求证存在A的一个特征根a，满足|a-bate|<e。
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1楼 2014-06-17 22:56:17
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筝筝日上

银虫 (著名写手)
楼上为清华大学2015考博试题，楼主当时在这个题上花了半个多小时，最后虽然感觉稀里糊涂做出来了但不确定。高手指点一二，另请不要鄙视楼主智商！！！楼主已经受挫良久-_-||
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2楼2014-06-17 22:57:42
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
(1) 考虑 B=A - beta*In, 可以设 beta=0.
(2) 考虑对称矩阵可以正交对角化, 可以设A 是对角阵.
(3) 题目叙述有问题, 建议将:  "s.t. 对于任意 e>0 " 改成 " s.t. 对于某个 e>0 "

(4). 设 A= diag(a1,..., an), 单位向量v=(v1, ..., vn). 如果每个 ai 都使得 |ai| >=e, 那么 , 与题设矛盾.
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We_must_know. We_will_know.
3楼2014-06-18 05:33:34
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wgdxidname

木虫 (著名写手)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
题目中对于向量v也是存在一个的话，这个题目好像有问题。容易找到不成立的A和 v
如果没理解错的话， 下面的思路应该可行
A对称，可以对角化， Av-batev是向量，  Av-batev=（A-bate I）v，
  |Av-batev|<=|A-bate I||v| 两个范数定义相容。
由题意应该有 |A-bate I|<e  进而有特征根|a-bate|<e
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四大皆空
4楼2014-06-19 11:13:44
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筝筝日上

银虫 (著名写手)
引用回帖:
3楼: Originally posted by hank612 at 2014-06-18 05:33:34
(1) 考虑 B=A - beta*In, 可以设 beta=0.
(2) 考虑对称矩阵可以正交对角化, 可以设A 是对角阵.
(3) 题目叙述有问题, 建议将:  "s.t. 对于任意 e>0 " 改成 " s.t. 对于某个 e>0 "

(4 ...

我好像就是这么做的
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5楼2014-06-19 22:16:46
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hy东舟

银虫 (初入文坛)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
这个题目实际上就考一点，对称矩阵特征值永远是良态的。题目可以换个意思理解，只要计算特征对残差足够小，那么所计算的特征值就充分逼近准确特征值，这个实际中非常重要，因为计算中我们不知道真实特征值，只可计算近似特征对残差，这个定理就告诉你，只要残差小，我就能算出一个高精度的特征值。具体证明beta和v实际是扰动矩阵A+E的准确特征对，E=-（A*v-beta*v）^T*v，再由对称矩阵特征值良态就知||lamda' - lamda||<=||E||<=e
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6楼2014-07-15 11:32:17
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