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筝筝日上

银虫 (著名写手)

[交流] 高代习题 已有3人参与

A是nxn对称矩阵,存在bate与长度为1的向量v,s.t.对于任意e〉0,|Av-batev|<e, 求证存在A的一个特征根a,满足|a-bate|<e。
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筝筝日上

银虫 (著名写手)

楼上为清华大学2015考博试题,楼主当时在这个题上花了半个多小时,最后虽然感觉稀里糊涂做出来了但不确定。高手指点一二,另请不要鄙视楼主智商!!!楼主已经受挫良久-_-||
2楼2014-06-17 22:57:42
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hank612

至尊木虫 (著名写手)


小木虫: 金币+0.5, 给个红包,谢谢回帖
(1) 考虑 B=A - beta*In, 可以设 beta=0.
(2) 考虑对称矩阵可以正交对角化, 可以设A 是对角阵.
(3) 题目叙述有问题, 建议将:  "s.t. 对于任意 e>0 " 改成 " s.t. 对于某个 e>0 "

(4). 设 A= diag(a1,..., an), 单位向量v=(v1, ..., vn). 如果每个 ai 都使得 |ai| >=e, 那么 , 与题设矛盾.
We_must_know. We_will_know.
3楼2014-06-18 05:33:34
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wgdxidname

木虫 (著名写手)


小木虫: 金币+0.5, 给个红包,谢谢回帖
题目中对于向量v也是存在一个的话,这个题目好像有问题。容易找到不成立的A和 v
如果没理解错的话, 下面的思路应该可行
A对称,可以对角化, Av-batev是向量,  Av-batev=(A-bate I)v,
  |Av-batev|<=|A-bate I||v| 两个范数定义相容。
由题意应该有 |A-bate I|<e  进而有特征根|a-bate|<e
四大皆空
4楼2014-06-19 11:13:44
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筝筝日上

银虫 (著名写手)

引用回帖:
3楼: Originally posted by hank612 at 2014-06-18 05:33:34
(1) 考虑 B=A - beta*In, 可以设 beta=0.
(2) 考虑对称矩阵可以正交对角化, 可以设A 是对角阵.
(3) 题目叙述有问题, 建议将:  "s.t. 对于任意 e>0 " 改成 " s.t. 对于某个 e>0 "

(4 ...

我好像就是这么做的
5楼2014-06-19 22:16:46
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hy东舟

银虫 (初入文坛)


小木虫: 金币+0.5, 给个红包,谢谢回帖
这个题目实际上就考一点,对称矩阵特征值永远是良态的。题目可以换个意思理解,只要计算特征对残差足够小,那么所计算的特征值就充分逼近准确特征值,这个实际中非常重要,因为计算中我们不知道真实特征值,只可计算近似特征对残差,这个定理就告诉你,只要残差小,我就能算出一个高精度的特征值。具体证明beta和v实际是扰动矩阵A+E的准确特征对,E=-(A*v-beta*v)^T*v,再由对称矩阵特征值良态就知||lamda' - lamda||<=||E||<=e
6楼2014-07-15 11:32:17
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