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小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
Edstrayer: 金币+5, very good,good luck to you! 2014-04-18 05:06:00
feixiaolin: 金币+5, 数学EPI+1, 深度。 2014-04-18 06:34:43
Feixiaolin 大神可能想得太复杂了.
引理1. 偶完全数一定是形如 n=2^{p-1} *(2^p-1), 其中p是素数.
(证明: Euler)
引理2. 当p >= 3 时, 4 整除 n.
引理 3. 当 p 是 4k+1型奇数时, 2^{p-1} = (15+1)^k =1 (mod 5),
2^p-1 = 2* (15+1)^k -1 = 1 (mod 5), 所以 n=1 (mod 5)
引理4. 当p是4k+3型奇数时, 2^{4 k+2} * (2^{4k+3} -1) (mod 25)
=4*(15+1)^k *[ 8*(15+1)^k -1] (mod 25) (利用Newton二项式展开)
=4* (15k+1) *[ 8*(15k+1)-1 ] (mod 25)
=28 (mod 25).
引理5. 由中国剩余定理, 满足 n=0 (mod 4), n=1 (mod 5) 当且仅当 n=16, 36, 56, 76, 96 (mod 100)
依然由中国剩余定理, 满足 n=0 (mod 4), n=28 (mod 25) 当且仅当 n=28 (mod 100).
结论: 如果 n=2^{p-1}*(2^p-1), 其中 p是大于1的奇数, 那么
n=28, 16, 36, 56, 76, 96 (mod 100) |
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