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Edstrayer

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方寸斗室小天地正气迷漫大世界

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[交流] 一个初等数论的小题

ExA（10分）设n是不小于28的偶完全数，试证：n的末尾两位数字必然是28，16，36，56，76，96六种情况之一。

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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

1楼2014-04-17 18:58:07

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回帖置顶 ( 共有1个 )

hank612

至尊木虫 (著名写手)

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feixiaolin: 金币+5, 数学EPI+1, 深度。 2014-04-18 06:34:43

引用回帖:

2楼: Originally posted by feixiaolin at 2014-04-17 22:42:00
https://wenku.baidu.com/link?url=_hDEregBGlZZaWZF3_TRnaBgsnKcZ18BAXJVoBFYzeVno7zpM5eGLrzK4g8RChJBC7tpcHv8zvD9GC-YaBz-UXqyugRThXYY4BLBttEcJHy
结合mod(11), mod(13) ?

Feixiaolin 大神可能想得太复杂了.

引理1.  偶完全数一定是形如 n=2^{p-1} *(2^p-1), 其中p是素数.
(证明: Euler)

引理2.  当p >= 3 时,  4 整除  n.

引理 3. 当 p 是 4k+1型奇数时,  2^{p-1} = (15+1)^k =1 (mod 5),
2^p-1 = 2* (15+1)^k -1 = 1 (mod 5), 所以  n=1 (mod 5)

引理4. 当p是4k+3型奇数时,  2^{4 k+2} * (2^{4k+3} -1)  (mod 25)
=4*(15+1)^k *[ 8*(15+1)^k -1]  (mod 25)  (利用Newton二项式展开)
=4* (15k+1) *[ 8*(15k+1)-1 ] (mod 25)
=28 (mod 25).

引理5. 由中国剩余定理, 满足 n=0 (mod 4), n=1 (mod 5) 当且仅当 n=16, 36, 56, 76, 96 (mod 100)
依然由中国剩余定理, 满足 n=0 (mod 4), n=28 (mod 25) 当且仅当 n=28 (mod 100).

结论: 如果 n=2^{p-1}*(2^p-1), 其中 p是大于1的奇数, 那么
n=28, 16, 36, 56, 76, 96 (mod 100)