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Edstrayer版主 (著名写手)
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一个初等数论的小题
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| ExA（10分）设n是不小于28的偶完全数，试证：n的末尾两位数字必然是28，16，36，56，76，96六种情况之一。 |
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hank612
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feixiaolin: 金币+5, 数学EPI+1, 深度。 2014-04-18 06:34:43
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Feixiaolin 大神可能想得太复杂了. 引理1. 偶完全数一定是形如 n=2^{p-1} *(2^p-1), 其中p是素数. (证明: Euler) 引理2. 当p >= 3 时, 4 整除 n. 引理 3. 当 p 是 4k+1型奇数时, 2^{p-1} = (15+1)^k =1 (mod 5), 2^p-1 = 2* (15+1)^k -1 = 1 (mod 5), 所以 n=1 (mod 5) 引理4. 当p是4k+3型奇数时, 2^{4 k+2} * (2^{4k+3} -1) (mod 25) =4*(15+1)^k *[ 8*(15+1)^k -1] (mod 25) (利用Newton二项式展开) =4* (15k+1) *[ 8*(15k+1)-1 ] (mod 25) =28 (mod 25). 引理5. 由中国剩余定理, 满足 n=0 (mod 4), n=1 (mod 5) 当且仅当 n=16, 36, 56, 76, 96 (mod 100) 依然由中国剩余定理, 满足 n=0 (mod 4), n=28 (mod 25) 当且仅当 n=28 (mod 100). 结论: 如果 n=2^{p-1}*(2^p-1), 其中 p是大于1的奇数, 那么 n=28, 16, 36, 56, 76, 96 (mod 100) |
4楼2014-04-18 04:31:50
feixiaolin
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2楼2014-04-17 22:42:00
Edstrayer
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