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ifelseend

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[求助] principal part 已有2人参与

在atom-photon interactions (by Claude Cohen-Tannoudji)这本书中, 看到了这样的一个公式, 提到了principal part.
有没有人知道是什么意思? 这是和微扰相干的, 第12页

原文:
The exression of delta-E is
$\delta E_i = P\sum_f \frac{|V_{ji}|^2}{E_i-E_f}$
where P denotes the principal part.

这是 $E_i$ 不等于 $E_j$ 的意思吗?

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1楼 2014-04-11 23:27:09

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十点钟的咖啡

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【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
ifelseend: 金币+8, ★★★★★最佳答案 2014-06-16 16:36:46
ifelseend: 回帖置顶 2014-06-16 17:44:16
华丽的飘过: 物理EPI+1, 3q 2014-06-17 05:03:06

这是Sokhotski-Plemejl theorem 的一个应用。苏联人，没有留下什么详细的个人资料。公式里的P，实际上是一个花体的 $\mathscr{P}$ , 在一些刊物中这个符号可能被另外一些符号取代，他们是P.V. 或者
$\int$ 的中间多了一个小小的“横杠”，就像 $\hbar$ . 现在我们已经不把这个积分叫做Principal part了，而是称作Cauchy principal value. Principal part 正像你所说的那样，和一个展开相关。这个定理是用来处理一类特殊的“发散的积分”，典型的例子有：

$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{f(x)}{x}dx$

这个积分是发散的，因为x=0的时候，被积函数就没有了意义。不过，我们可以把这个积分引向复数范围，于是就很神奇地把一个积分分成了两个部分，而且，各部分都有了自己的含义。

引入一个小正数，积分变为

$\lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0^+}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{f(x)}{x+i \epsilon}dx=-i\lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0^+}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\epsilon}{x^2+\epsilon^2}f(x)dx + \lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0^+}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x^2}{x^2+\epsilon^2}\frac{f(x)}{x}dx$

在等号右侧的第一个积分中，有个Delta函数；实际上

$\frac{\epsilon}{x^2+\epsilon^2}$

是一个洛伦兹线型， $\epsilon$ 越小，线型的宽度就越小。所以它非常像Delta函数，但是，他不是。因为

$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\epsilon}{x^2+\epsilon^2}dx=\pi$ （留数定理）

但是我们只要“调整”一下，就可以得到Delta函数了。

$\lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0^+}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{f(x)}{x+i \epsilon}dx=-i \pi \lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0^+}\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x)f(x)dx + \lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0^+}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x^2}{x^2+\epsilon^2}\frac{f(x)}{x}dx$

第二项中的系数

$\frac{x^2}{x^2+\epsilon^2}$

在 $\epsilon \rightarrow 0^+$ 的时候是1（当然x不能为零）。实际上，等号右侧的第二个极限可以这样描述

$\lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0^+}(\int_{-\infty}^{-\epsilon}\frac{f(x)}{x}dx+\int_{\epsilon}^{\infty}\frac{f(x)}{x}dx)$

这就是Cauchy Principal Value.

$\mathscr{P}\int\frac{f(x)}{x}dx=\lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0^+}(\int_{-\infty}^{-\epsilon}\frac{f(x)}{x}dx+\int_{\epsilon}^{\infty}\frac{f(x)}{x}dx)$

于是就有了：

$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{f(x)}{x}dx=-i \pi f(0) + \mathscr{P}\int \frac{f(x)}{x}dx$

所以你给出的积分是某个积分的一部分。Delta函数和Principal value经常一起出现。在量子物理中，Delta函数可能是能级加宽（Fermi Golden rule），而Principal value可能是能级移动。在其他的系统中，他们对应于其他的物理含义。当然，这种做法并没有把原来的积分的发散性消除。只是将其“集中”到了Delta函数中。

此类做法还可能出现在对Exp(ikx)的积分中（积分下限为0，上限为无穷。对于积分下限为负无穷，上限为无穷的积分会直接导致Delta函数出现）。这是同样将x变为靠近实轴的复数，导致一个衰减项出现。类似上面的推导将出现。并得到类似的结论。

Good luck！

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8楼2014-06-16 16:04:38

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简谐振子

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是的，挖掉使得分母等于零的点，或者说把分母等于零这点的函数值重新定义为零。

[ 发自小木虫客户端 ]

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2楼2014-04-12 02:21:21

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【答案】应助回帖

★ ★
感谢参与，应助指数 +1
ifelseend: 金币+2 2014-05-09 12:29:13

没错！~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

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3楼2014-04-12 06:37:53

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2楼: Originally posted by 简谐振子 at 2014-04-12 02:21:21
是的，挖掉使得分母等于零的点，或者说把分母等于零这点的函数值重新定义为零。

可是，principal part指的是负幂次项呀。感觉这里说的是调整定义域的意思呢。

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]

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4楼2014-04-12 07:53:57

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4楼: Originally posted by ifelseend at 2014-04-12 07:53:57
可是，principal part指的是负幂次项呀。感觉这里说的是调整定义域的意思呢。
...

你说的调整定义域应该就是我说的挖掉使得分母等于零的那些点的意思吧...

[ 发自小木虫客户端 ]

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5楼2014-04-13 01:26:40

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5楼: Originally posted by 简谐振子 at 2014-04-13 01:26:40
你说的调整定义域应该就是我说的挖掉使得分母等于零的那些点的意思吧...
...

是的。为什么负幂次项和挖掉零点是一个意思呢？

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6楼2014-04-22 16:34:16

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对于这个问题有没有人有其他的意见？

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7楼2014-05-09 12:30:09

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8楼: Originally posted by 十点钟的咖啡 at 2014-06-16 16:04:38
这是Sokhotski-Plemejl theorem 的一个应用。苏联人，没有留下什么详细的个人资料。公式里的P，实际上是一个花体的\mathscr{P}, 在一些刊物中这个符号可能被另外一些符号取代，他们是P.V. 或者
\int的中间多了一个 ...

thanks, very very much.

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9楼2014-06-16 17:43:53

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