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十点钟的咖啡

金虫 (正式写手)

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【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
ifelseend: 金币+8, ★★★★★最佳答案 2014-06-16 16:36:46
ifelseend: 回帖置顶 2014-06-16 17:44:16
华丽的飘过: 物理EPI+1, 3q 2014-06-17 05:03:06

这是Sokhotski-Plemejl theorem 的一个应用。苏联人，没有留下什么详细的个人资料。公式里的P，实际上是一个花体的 $\mathscr{P}$ , 在一些刊物中这个符号可能被另外一些符号取代，他们是P.V. 或者
$\int$ 的中间多了一个小小的“横杠”，就像 $\hbar$ . 现在我们已经不把这个积分叫做Principal part了，而是称作Cauchy principal value. Principal part 正像你所说的那样，和一个展开相关。这个定理是用来处理一类特殊的“发散的积分”，典型的例子有：

$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{f(x)}{x}dx$

这个积分是发散的，因为x=0的时候，被积函数就没有了意义。不过，我们可以把这个积分引向复数范围，于是就很神奇地把一个积分分成了两个部分，而且，各部分都有了自己的含义。

引入一个小正数，积分变为

$\lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0^+}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{f(x)}{x+i \epsilon}dx=-i\lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0^+}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\epsilon}{x^2+\epsilon^2}f(x)dx + \lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0^+}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x^2}{x^2+\epsilon^2}\frac{f(x)}{x}dx$

在等号右侧的第一个积分中，有个Delta函数；实际上

$\frac{\epsilon}{x^2+\epsilon^2}$

是一个洛伦兹线型， $\epsilon$ 越小，线型的宽度就越小。所以它非常像Delta函数，但是，他不是。因为

$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\epsilon}{x^2+\epsilon^2}dx=\pi$ （留数定理）

但是我们只要“调整”一下，就可以得到Delta函数了。

$\lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0^+}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{f(x)}{x+i \epsilon}dx=-i \pi \lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0^+}\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x)f(x)dx + \lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0^+}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x^2}{x^2+\epsilon^2}\frac{f(x)}{x}dx$

第二项中的系数

$\frac{x^2}{x^2+\epsilon^2}$

在 $\epsilon \rightarrow 0^+$ 的时候是1（当然x不能为零）。实际上，等号右侧的第二个极限可以这样描述

$\lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0^+}(\int_{-\infty}^{-\epsilon}\frac{f(x)}{x}dx+\int_{\epsilon}^{\infty}\frac{f(x)}{x}dx)$

这就是Cauchy Principal Value.

$\mathscr{P}\int\frac{f(x)}{x}dx=\lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0^+}(\int_{-\infty}^{-\epsilon}\frac{f(x)}{x}dx+\int_{\epsilon}^{\infty}\frac{f(x)}{x}dx)$

于是就有了：

$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{f(x)}{x}dx=-i \pi f(0) + \mathscr{P}\int \frac{f(x)}{x}dx$

所以你给出的积分是某个积分的一部分。Delta函数和Principal value经常一起出现。在量子物理中，Delta函数可能是能级加宽（Fermi Golden rule），而Principal value可能是能级移动。在其他的系统中，他们对应于其他的物理含义。当然，这种做法并没有把原来的积分的发散性消除。只是将其“集中”到了Delta函数中。

此类做法还可能出现在对Exp(ikx)的积分中（积分下限为0，上限为无穷。对于积分下限为负无穷，上限为无穷的积分会直接导致Delta函数出现）。这是同样将x变为靠近实轴的复数，导致一个衰减项出现。类似上面的推导将出现。并得到类似的结论。

Good luck！

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8楼2014-06-16 16:04:38

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