版块导航: 正在加载中...

登录注册

应《网络安全法》要求，自2017年10月1日起，未进行实名认证将不得使用互联网跟帖服务。为保障您的帐号能够正常使用，请尽快对帐号进行手机号验证，感谢您的理解与支持！

24小时热门版块排行榜

>论坛更新日志 (3361)
>考研 (433)
>导师招生 (423)
>虫友互识 (158)
>考博 (116)
>文献求助 (112)
>硕博家园 (43)
>基金申请 (41)
>招聘信息布告栏 (27)
>论文投稿 (21)
>公派出国 (20)
>教师之家 (19)
>休闲灌水 (15)
>找工作 (12)
>博后之家 (11)
>无机/物化 (9)

北京石油化工学院2026年研究生招生接收调剂公告

返回列表

本帖产生 1 个物理EPI ，点击这里进行查看

当前只显示满足指定条件的回帖，点击这里查看本话题的所有回帖

十点钟的咖啡

金虫 (正式写手)

物理EPI: 3
应助: 17 (小学生)
金币: 481.1
散金: 209
红花: 16
帖子: 678
在线: 85.4小时
虫号: 2444281
注册: 2013-05-02
专业: 光学

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
ifelseend: 金币+8, ★★★★★最佳答案 2014-06-16 16:36:46
ifelseend: 回帖置顶 2014-06-16 17:44:16
华丽的飘过: 物理EPI+1, 3q 2014-06-17 05:03:06

这是Sokhotski-Plemejl theorem 的一个应用。苏联人，没有留下什么详细的个人资料。公式里的P，实际上是一个花体的 $\mathscr{P}$ , 在一些刊物中这个符号可能被另外一些符号取代，他们是P.V. 或者
$\int$ 的中间多了一个小小的“横杠”，就像 $\hbar$ . 现在我们已经不把这个积分叫做Principal part了，而是称作Cauchy principal value. Principal part 正像你所说的那样，和一个展开相关。这个定理是用来处理一类特殊的“发散的积分”，典型的例子有：

$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{f(x)}{x}dx$

这个积分是发散的，因为x=0的时候，被积函数就没有了意义。不过，我们可以把这个积分引向复数范围，于是就很神奇地把一个积分分成了两个部分，而且，各部分都有了自己的含义。

引入一个小正数，积分变为

$\lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0^+}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{f(x)}{x+i \epsilon}dx=-i\lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0^+}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\epsilon}{x^2+\epsilon^2}f(x)dx + \lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0^+}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x^2}{x^2+\epsilon^2}\frac{f(x)}{x}dx$

在等号右侧的第一个积分中，有个Delta函数；实际上

$\frac{\epsilon}{x^2+\epsilon^2}$

是一个洛伦兹线型， $\epsilon$ 越小，线型的宽度就越小。所以它非常像Delta函数，但是，他不是。因为

$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\epsilon}{x^2+\epsilon^2}dx=\pi$ （留数定理）

但是我们只要“调整”一下，就可以得到Delta函数了。

$\lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0^+}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{f(x)}{x+i \epsilon}dx=-i \pi \lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0^+}\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x)f(x)dx + \lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0^+}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x^2}{x^2+\epsilon^2}\frac{f(x)}{x}dx$

第二项中的系数

$\frac{x^2}{x^2+\epsilon^2}$

在 $\epsilon \rightarrow 0^+$ 的时候是1（当然x不能为零）。实际上，等号右侧的第二个极限可以这样描述

$\lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0^+}(\int_{-\infty}^{-\epsilon}\frac{f(x)}{x}dx+\int_{\epsilon}^{\infty}\frac{f(x)}{x}dx)$

这就是Cauchy Principal Value.

$\mathscr{P}\int\frac{f(x)}{x}dx=\lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0^+}(\int_{-\infty}^{-\epsilon}\frac{f(x)}{x}dx+\int_{\epsilon}^{\infty}\frac{f(x)}{x}dx)$

于是就有了：

$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{f(x)}{x}dx=-i \pi f(0) + \mathscr{P}\int \frac{f(x)}{x}dx$

所以你给出的积分是某个积分的一部分。Delta函数和Principal value经常一起出现。在量子物理中，Delta函数可能是能级加宽（Fermi Golden rule），而Principal value可能是能级移动。在其他的系统中，他们对应于其他的物理含义。当然，这种做法并没有把原来的积分的发散性消除。只是将其“集中”到了Delta函数中。

此类做法还可能出现在对Exp(ikx)的积分中（积分下限为0，上限为无穷。对于积分下限为负无穷，上限为无穷的积分会直接导致Delta函数出现）。这是同样将x变为靠近实轴的复数，导致一个衰减项出现。类似上面的推导将出现。并得到类似的结论。

Good luck！

赞一下(2人)

回复此楼

8楼2014-06-16 16:04:38

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

智能机器人

Robot (super robot)

我们都爱小木虫

找到一些相关的精华帖子，希望有用哦~

求助晶体解析中的B类错误已经有21人回复
Upenn关于各种美国J1的详尽介绍，包括transfer、豁免、2年回国限制、保险、薪水线等等已经有45人回复

点击这里搜索更多相关资源

科研从小木虫开始，人人为我，我为人人

相关版块跳转我要订阅楼主 ifelseend 的主题更新

返回列表

最具人气热帖推荐 [查看全部]		作者	回/看	最后发表

[考研] 求调剂 +10	张zz111 2026-03-27	11/550	2026-03-30 09:17 by 无际的草原
[考研] 南京大学化学调剂 +9	景随风 2026-03-29	14/700	2026-03-29 21:22 by chixmc
[考研] 329求调剂 +10	钮恩雪 2026-03-25	10/500	2026-03-29 13:32 by peike
[考研] 求调剂，一志愿南京航空航天大学，080500材料科学与工程学硕，总分289分 +7	@taotao 2026-03-29	7/350	2026-03-29 12:03 by longlotian
[考研] 348求调剂 +5	小懒虫不懒了 2026-03-28	5/250	2026-03-29 10:34 by 唐沐儿
[考研] 305求调剂 +8	RuiFairyrui 2026-03-28	8/400	2026-03-29 08:22 by fmesaito
[考研] 329求调剂 +7	星野? 2026-03-26	7/350	2026-03-29 06:43 by 544594351
[考研] 压国家一区线，求导师收留，有恩必谢！ +7	迷人的哈哈 2026-03-28	7/350	2026-03-28 16:47 by 催化大白
[考研] 070300求调剂306分 +4	26要上岸 2026-03-27	4/200	2026-03-28 13:06 by 唐沐儿
[考研] 283求调剂 +7	A child 2026-03-28	7/350	2026-03-28 12:05 by zllcz
[考研] 一志愿南昌大学324求调剂 +7	hanamiko 2026-03-27	7/350	2026-03-28 09:56 by 李上岸0921
[考研] 0703化学求调剂，各位老师看看我！！！ +5	祁祺祺 2026-03-25	5/250	2026-03-27 21:44 by 东方猪猪
[考研] 070300化学求调剂 +4	起个名咋这么难 2026-03-27	4/200	2026-03-27 21:39 by 83503孙老师
[考研] 272求调剂 +7	脚滑的守法公民 2026-03-27	7/350	2026-03-27 17:23 by laoshidan
[考研] 279 分求调剂 +4	睡个好觉_16 2026-03-24	4/200	2026-03-27 15:05 by 醉在风里
[考研] 315调剂 +4	0860求调剂 2026-03-26	5/250	2026-03-27 11:23 by wangjy2002
[考研] 321求调剂 +6	wasdssaa 2026-03-26	6/300	2026-03-26 20:57 by sanrepian
[考研] 293求调剂 +7	加一一九 2026-03-24	7/350	2026-03-25 12:02 by userper
[考研] 一志愿吉林大学材料与化工303分求调剂 +4	为学666 2026-03-24	4/200	2026-03-25 11:27 by BruceLiu320
[考研] 材料专硕找调剂 +5	哈哈哈吼吼吼哈 2026-03-23	5/250	2026-03-24 19:07 by 了了了了。。