版块导航: 正在加载中...

登录注册

应《网络安全法》要求，自2017年10月1日起，未进行实名认证将不得使用互联网跟帖服务。为保障您的帐号能够正常使用，请尽快对帐号进行手机号验证，感谢您的理解与支持！

24小时热门版块排行榜

>论坛更新日志 (3154)
>导师招生 (311)
>考研 (311)
>虫友互识 (145)
>考博 (110)
>文献求助 (99)
>基金申请 (41)
>硕博家园 (38)
>招聘信息布告栏 (23)
>论文投稿 (21)
>教师之家 (19)
>休闲灌水 (14)
>公派出国 (13)
>找工作 (11)
>无机/物化 (9)
>博后之家 (8)

北京石油化工学院2026年研究生招生接收调剂公告

返回列表

本帖产生 1 个物理EPI ，点击这里进行查看

当前只显示满足指定条件的回帖，点击这里查看本话题的所有回帖

十点钟的咖啡

金虫 (正式写手)

物理EPI: 3
应助: 17 (小学生)
金币: 481.1
散金: 209
红花: 16
帖子: 678
在线: 85.4小时
虫号: 2444281
注册: 2013-05-02
专业: 光学

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
ifelseend: 金币+8, ★★★★★最佳答案 2014-06-16 16:36:46
ifelseend: 回帖置顶 2014-06-16 17:44:16
华丽的飘过: 物理EPI+1, 3q 2014-06-17 05:03:06

这是Sokhotski-Plemejl theorem 的一个应用。苏联人，没有留下什么详细的个人资料。公式里的P，实际上是一个花体的 $\mathscr{P}$ , 在一些刊物中这个符号可能被另外一些符号取代，他们是P.V. 或者
$\int$ 的中间多了一个小小的“横杠”，就像 $\hbar$ . 现在我们已经不把这个积分叫做Principal part了，而是称作Cauchy principal value. Principal part 正像你所说的那样，和一个展开相关。这个定理是用来处理一类特殊的“发散的积分”，典型的例子有：

$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{f(x)}{x}dx$

这个积分是发散的，因为x=0的时候，被积函数就没有了意义。不过，我们可以把这个积分引向复数范围，于是就很神奇地把一个积分分成了两个部分，而且，各部分都有了自己的含义。

引入一个小正数，积分变为

$\lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0^+}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{f(x)}{x+i \epsilon}dx=-i\lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0^+}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\epsilon}{x^2+\epsilon^2}f(x)dx + \lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0^+}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x^2}{x^2+\epsilon^2}\frac{f(x)}{x}dx$

在等号右侧的第一个积分中，有个Delta函数；实际上

$\frac{\epsilon}{x^2+\epsilon^2}$

是一个洛伦兹线型， $\epsilon$ 越小，线型的宽度就越小。所以它非常像Delta函数，但是，他不是。因为

$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\epsilon}{x^2+\epsilon^2}dx=\pi$ （留数定理）

但是我们只要“调整”一下，就可以得到Delta函数了。

$\lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0^+}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{f(x)}{x+i \epsilon}dx=-i \pi \lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0^+}\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x)f(x)dx + \lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0^+}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x^2}{x^2+\epsilon^2}\frac{f(x)}{x}dx$

第二项中的系数

$\frac{x^2}{x^2+\epsilon^2}$

在 $\epsilon \rightarrow 0^+$ 的时候是1（当然x不能为零）。实际上，等号右侧的第二个极限可以这样描述

$\lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0^+}(\int_{-\infty}^{-\epsilon}\frac{f(x)}{x}dx+\int_{\epsilon}^{\infty}\frac{f(x)}{x}dx)$

这就是Cauchy Principal Value.

$\mathscr{P}\int\frac{f(x)}{x}dx=\lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0^+}(\int_{-\infty}^{-\epsilon}\frac{f(x)}{x}dx+\int_{\epsilon}^{\infty}\frac{f(x)}{x}dx)$

于是就有了：

$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{f(x)}{x}dx=-i \pi f(0) + \mathscr{P}\int \frac{f(x)}{x}dx$

所以你给出的积分是某个积分的一部分。Delta函数和Principal value经常一起出现。在量子物理中，Delta函数可能是能级加宽（Fermi Golden rule），而Principal value可能是能级移动。在其他的系统中，他们对应于其他的物理含义。当然，这种做法并没有把原来的积分的发散性消除。只是将其“集中”到了Delta函数中。

此类做法还可能出现在对Exp(ikx)的积分中（积分下限为0，上限为无穷。对于积分下限为负无穷，上限为无穷的积分会直接导致Delta函数出现）。这是同样将x变为靠近实轴的复数，导致一个衰减项出现。类似上面的推导将出现。并得到类似的结论。

Good luck！

赞一下(2人)

回复此楼

8楼2014-06-16 16:04:38

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

智能机器人

Robot (super robot)

我们都爱小木虫

找到一些相关的精华帖子，希望有用哦~

求助晶体解析中的B类错误已经有21人回复
Upenn关于各种美国J1的详尽介绍，包括transfer、豁免、2年回国限制、保险、薪水线等等已经有45人回复

点击这里搜索更多相关资源

科研从小木虫开始，人人为我，我为人人

相关版块跳转我要订阅楼主 ifelseend 的主题更新

返回列表

最具人气热帖推荐 [查看全部]		作者	回/看	最后发表

[考研] 材料工程专硕求调剂 +4	hyl3153942 2026-03-29	4/200	2026-03-30 09:46 by cocolv
[考研] 310求调剂 +6	争取九点睡 2026-03-30	6/300	2026-03-30 08:00 by YYYYX1234
[考研] 材料科学与工程求调剂 +6	深V宿舍吧 2026-03-29	6/300	2026-03-29 20:51 by 唐沐儿
[考研] 0856材料化工调剂总分330 +14	zhubinhao 2026-03-27	14/700	2026-03-29 10:01 by Sjndkwm
[考研] 081200-11408-276学硕求调剂 +6	崔wj 2026-03-26	6/300	2026-03-29 01:11 by hanserlol
[考研] 304求调剂 +6	曼殊2266 2026-03-27	6/300	2026-03-28 14:10 by 唐沐儿
[考研] 266分，求材料冶金能源化工等调剂 +7	哇呼哼呼哼 2026-03-27	9/450	2026-03-28 12:22 by zllcz
[考研] 308求调剂 +7	墨墨漠 2026-03-27	7/350	2026-03-28 07:43 by 热情沙漠
[考研] 0703化学求调剂，各位老师看看我！！！ +5	祁祺祺 2026-03-25	5/250	2026-03-27 21:44 by 东方猪猪
[考研] 272求调剂 +7	脚滑的守法公民 2026-03-27	7/350	2026-03-27 17:23 by laoshidan
[考研] 考研调剂 +10	呼呼？~+123456 2026-03-24	10/500	2026-03-27 11:46 by wangjy2002
[考研] 一志愿陕师大生物学071000，298分，求调剂 +5	SYA！ 2026-03-23	5/250	2026-03-27 09:29 by 不吃魚的貓
[考研] 359求调剂 +4	王了个楠 2026-03-25	4/200	2026-03-27 08:43 by 不吃魚的貓
[考研] 343求调剂 +4	赠我一本书 2026-03-23	4/200	2026-03-27 00:40 by wxiongid
[考研] 341求调剂 +7	青柠檬1 2026-03-26	7/350	2026-03-27 00:19 by wxiongid
[考研] 材料调剂 5+4	想要一壶桃花水 2026-03-25	10/500	2026-03-26 19:56 by 不吃魚的貓
[考研] 中国科学院深圳先进技术研究院-光纤传感课题组招生-中国科学院大学、深圳理工大学联培 +5	YangTyu1 2026-03-26	5/250	2026-03-26 18:27 by 猫咪猫咪呀
[考研] 309求调剂 +4	gajsj 2026-03-25	5/250	2026-03-26 00:27 by Dyhoer
[考研] 机械学硕总分317求调剂！！！！ +4	Acaciad 2026-03-25	4/200	2026-03-25 19:59 by hanserlol
[考研] 材料调剂 +3	iwinso 2026-03-23	3/150	2026-03-25 11:29 by greychen00