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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 一个无穷级数的求和？
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界

[交流] 一个无穷级数的求和？ 已有1人参与

试求出下面的无穷级数的和：
\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{\frac{1}{2}n(n+1)}\frac{1}{2n-1}=?



[ Last edited by Edstrayer on 2014-4-29 at 17:41 ]
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
1楼 2014-04-02 22:47:05
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
引用回帖:
15楼: Originally posted by Edstrayer at 2014-04-04 00:43:31
这里的方法是正确的，但是计算结果不对，……
级数的正确和是-\frac{\sqrt{2}\pi}{4}...

楼主英明.

让 A=arctan(1- Sqrt[2]), B=arctan(1+Sqrt[2]),  那么 tan(A-B)= (tanA-tanB)/(1+tanA*tanB)= -Infinity.
因此 A-B= -Pi/2, 从而 f(1)= ( -Pi/2 )/ Sqrt[2]= -Sqrt[2]*Pi/4.

一个简单的答案被一个很吓人的表达式搞砸了...
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We_must_know. We_will_know.
16楼2014-04-04 01:03:16
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer
★ ★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
Edstrayer: 金币+1 2014-04-03 03:49:26
看不太明白，是Sum{(-1)^n*(2*n-1)/[n(n+1)],n=1~∞}的意思吗？很容易证明它是收敛的，但其和不好求呀。
赞一下(1人) 回复此楼
7楼2014-04-03 03:32:49
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界
引用回帖:
7楼: Originally posted by peterflyer at 2014-04-03 03:32:49
看不太明白，是Sum{(-1)^n*(2*n-1)/,n=1~∞}的意思吗？很容易证明它是收敛的，但其和不好求呀。

不是你所说的级数，而是级数：
\sum\limits_{n=1}^{+\infty}(-1)^{\frac{1}{2}n(n+1)}\frac{1}{2n-1}=?
这是一个交错级数，容易证明其是条件收敛，现在的问题是求出其和等于多少？
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
8楼2014-04-03 03:45:33
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界
是下面的级数求和？
一个无穷级数的求和？
无穷级数的求和001.png
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
9楼2014-04-03 04:31:20
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