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clevercalm

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[求助] 求教两题实变，泛函

题目见附件，最好有简略解题过程，谢谢！

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2014-03-20 13:34:43, 12.03 K

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1楼 2014-03-20 13:35:37

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jabile

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感谢参与，应助指数 +1
clevercalm: 金币+50, ★★★很有帮助 2014-03-20 19:50:27

一. 令 $f(x)=\mu (\Omega \cap [-\infty,x])$ ，
则 $f(-\infty)=0,f(+\infty)=1$ ，且f连续，故对任意
$0<\alpha<1$ ，存在x, $f(x)=\alpha$
$\Omega_{\alpha}$ 就是 $\Omega\cap [-\infty,x]$

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2楼2014-03-20 18:33:17

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clevercalm: 金币+55 2014-03-20 19:50:31

二.对M>0,
$\int_{\Omega} |f_n(x)|dx\leq \int_{\Omega} |f_n(x)|\vee M dx+\int_{\Omega,|f_n(x)|>M} |f(x)|dx$ $<br /> 由控制收敛定理，<br /> [latex]\int_{\Omega} |f_n(x)|\vee M dx\rightarrow 0$
由Cauchy不等式，
$[\int_{\Omega,|f_n(x)|>M} |f(x)|dx]^2 \leq \int_{\Omega}f^2(x)dx \int_{\Omega,|f_n|>M} 1 dx$
而当 $M\rightarrow \infty$ ，
$P(|f_n|>M)\rightarrow 0$

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3楼2014-03-20 18:45:51

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引用回帖:

3楼: Originally posted by jabile at 2014-03-20 18:45:51
二.对M>0,
\int_{\Omega} |f_n(x)|dx\leq \int_{\Omega} |f_n(x)|\vee M dx+\int_{\Omega,|f_n(x)|>M} |f(x)|dx
由控制收敛定理，
\int_{\Omega} |f_n(x)|\vee M dx\rightarrow 0
由Cauchy不等式，
^2 ...

中间有乱码，也还有点看不懂。能不能麻烦你再写的详细些，谢谢!

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4楼2014-03-20 20:30:03

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引用回帖:

重写一下，积分分两部分，
第一部分和n无关
$[\int_{\Omega,|f|>M} |f|dx]^2\leq [\int_{\Omega,|f|>M} f^2 dx ][\int_{\Omega,|f|>M} 1dx]$
$\int_{\Omega,|f|>M}f^2dx\leq \int_{\Omega}f^2dx\leq 1$
$\int_{\Omega,|f|>M} 1dx\leq P(|f|>M)\leq {1\over M^2}\int_{\Omega} f^2dx\leq {1\over M^2}$
第二部分根据控制收敛定理，
$\int_{\Omega,|f_n|\leq M} |f|dx\leq \int_{\Omega} |f|\wedge M dx \rightarrow 0$

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5楼2014-03-20 20:50:28

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