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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 求证明，如果 G 有有限数目个子群，那么 G 是一个有限群
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klsmj

铜虫 (小有名气)

[交流] 求证明，如果 G 有有限数目个子群，那么 G 是一个有限群 已有4人参与

:-(

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
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1楼 2014-03-13 20:14:56
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feixiaolin

荣誉版主 (文坛精英)

优秀版主
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
http://zhidao.baidu.com/link?url ... qB8CwIhilE3VWnIwJU_
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2楼2014-03-13 21:41:24
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klsmj

铜虫 (小有名气)
引用回帖:
2楼: Originally posted by feixiaolin at 2014-03-13 21:41:24
http://zhidao.baidu.com/link?url=xr4tJpTpIq-LuziMeMbABG_l5bdGOUDrtki_PHjRVgeVJAtp_nrUT6ADsUkULIfo2GmqB8CwIhilE3VWnIwJU_

看不懂所以才来问
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3楼2014-03-13 22:38:24
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phobeDD

铜虫 (小有名气)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
假设|G|为正无穷，那么必然存在元素g属于G, |g|为正无穷。
因此，|<g>|为正无穷， 同理，|<g^2>|为正无穷， |<g^n>|为正无穷， 从而得出G有无限个数目子群。

但是G的子群数目有限，所以|G|有限
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4楼2014-03-14 10:02:00
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
引用回帖:
4楼: Originally posted by phobeDD at 2014-03-14 10:02:00
假设|G|为正无穷，那么必然存在元素g属于G, |g|为正无穷。
因此，|<g>|为正无穷， 同理，|<g^2>|为正无穷， |<g^n>|为正无穷， 从而得出G有无限个数目子群。

但是G的子群数目有限，所以|G|有 ...

错。比如, Q/Z 有理数模整数，每个元素都是有限阶的.
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We_must_know. We_will_know.
5楼2014-03-14 14:21:33
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phobeDD

铜虫 (小有名气)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
引用回帖:
5楼: Originally posted by hank612 at 2014-03-14 14:21:33
错。比如, Q/Z 有理数模整数，每个元素都是有限阶的....

嗯......那么我就说，一个有限群必然包含有限cyclic有限子群，一个无限群，或者有无限cyclic子群，或者有一个无限cyclic子群，如果有一个无限cyclic子群，重复我上面的证明

[ Last edited by phobeDD on 2014-3-14 at 20:43 ]
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6楼2014-03-14 20:30:19
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sskkyy

银虫 (正式写手)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
因为无限循环群Z的子群有无数个，所以G中没有子群Z，也就是任意元素g是有限阶的。考虑g生成的有限循环群子群<g>，这样的子群个数是有限个的，记所有这样的子群为<g1>,<g2>,....,<gn>。那么任何其他元素g生成的子群<g>必与某个<gi>相同，也就是g为gi的某个次数。但是因为gi是有限阶的，所以这样次数的全体是有限的，也就是G是有限群。
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7楼2014-03-15 12:57:16
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