[交流] 求证明，如果 G 有有限数目个子群，那么 G 是一个有限群已有4人参与

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1楼2014-03-13 20:14:56

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feixiaolin

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2楼2014-03-13 21:41:24

klsmj

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2楼: Originally posted by feixiaolin at 2014-03-13 21:41:24
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看不懂所以才来问

3楼2014-03-13 22:38:24

phobeDD

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假设|G|为正无穷，那么必然存在元素g属于G, |g|为正无穷。
因此，|<g>|为正无穷，同理，|<g^2>|为正无穷， |<g^n>|为正无穷，从而得出G有无限个数目子群。

但是G的子群数目有限，所以|G|有限

4楼2014-03-14 10:02:00

hank612

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引用回帖:

4楼: Originally posted by phobeDD at 2014-03-14 10:02:00
假设|G|为正无穷，那么必然存在元素g属于G, |g|为正无穷。
因此，|<g>|为正无穷，同理，|<g^2>|为正无穷， |<g^n>|为正无穷，从而得出G有无限个数目子群。

但是G的子群数目有限，所以|G|有 ...

错。比如, Q/Z 有理数模整数，每个元素都是有限阶的.

We_must_know. We_will_know.

5楼2014-03-14 14:21:33

phobeDD

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5楼: Originally posted by hank612 at 2014-03-14 14:21:33
错。比如, Q/Z 有理数模整数，每个元素都是有限阶的....

嗯......那么我就说，一个有限群必然包含有限cyclic有限子群，一个无限群，或者有无限cyclic子群，或者有一个无限cyclic子群，如果有一个无限cyclic子群，重复我上面的证明

[ Last edited by phobeDD on 2014-3-14 at 20:43 ]

6楼2014-03-14 20:30:19

sskkyy

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因为无限循环群Z的子群有无数个，所以G中没有子群Z，也就是任意元素g是有限阶的。考虑g生成的有限循环群子群<g>，这样的子群个数是有限个的，记所有这样的子群为<g1>,<g2>,....,<gn>。那么任何其他元素g生成的子群<g>必与某个<gi>相同，也就是g为gi的某个次数。但是因为gi是有限阶的，所以这样次数的全体是有限的，也就是G是有限群。

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7楼2014-03-15 12:57:16